Regnearternes hierarki: Hvilken rækkefølge regner man i?

Når vi regner, er det rigtigt, at vi har en aftale om, i hvilken rækkefølge vi regner. Vi kan starte med at kigge på et enkelt eksempel:

$2+4*3$

Hvis vi regner på samme måde, som vi læser, fra højre mod venstre, så får vi, at stykket giver 18. Men hvis vi regner det på en lommeregner (hvor vi kan få lov til at skrive hele stykket op), giver det 14.

Det skyldes regnearternes hierarki, som er en fælles aftale, vi har indgået om, i hvilken rækkefølge ting skal regnes.

Rækkefølgen er følgende: parenteser først, så eksponenter og rødder, så gange og division og til sidst plus og minus. Læs med, mens vi gennemgår rækkefølgen trin for trin.

Regnearternes hierarki: Parenteser

Det allerførste, der skal regnes, når vi har et regnestykke, er det, der står inde i parenteserne.
Hvis vi kigger på stykket fra før, så giver $2+4*3$ ikke 18, men det gør $(2+4)*3$ , fordi nu regner vi $(2+4)$ først, og så ganger vi resultatet, 6, med 3.

Det sker også, at man bruger parenteser bare for at fremhæve, hvad der skal regnes først. Vi kan for eksempel skrive $2+(4*3)$ , bare for at fremhæve at vi skal gange først.

At ophæve parenteser

Nogle gange kan vi ikke beregne parentesen.
Hvis vi eksempelvis har stykket $(\mathrm{a}+4)*2$ , er det vigtigt at vi beregner summen inde i parentesen først, men det kan vi ikke, før vi har en værdi af a.
Så kan vi i stedet gange ind i parentesen.
Når vi gør det, ganger vi alle led i stykket med det der står udenfor parentesen. Når vi gør det, får vi at $(\mathrm{a}+4)*2=\mathrm{2\; a}+2*4$ .

Vi har altså opløst parentesen uden at have regnet det, der stod inde i den. Et andet eksempel på det kan være kvadratsætninger.

Parenteser i parenteser

Nogle gange kan der være parenteser inde i parenteserne. Når det er tilfældet, regner vi de inderste parenteser først, og arbejder og udad:

$2*(1+(2^2\left)\right)=2*(1+4)=2*5=10$

Regnearternes hierarki: Eksponenter og rødder

Efter at have regnet parenteserne regner vi eksponenter og rødder. Hvis vi i stykket $2+3^2$ regner $2+3^{}$ først, og altså sætter parenteserne sådan: ${(2+3)}^2$ , så får vi, at stykket giver 25.

Hvis vi i stedet sætter parenteserne korrekt, så starter vi med at beregne $3^2$ , og får dermed at stykket giver 14. Man regner eksponenter og rødder samtidig, fordi man får samme resultat om man gør det ene eller det andet først.

For eksempel, i stykket ${\sqrt{25}}^3$ , kan man tage kvadratroden først, og så sætte i tredje: ${\sqrt{25}}^3-->5^3-->125$ ,
eller man kan sætte i tredje først, og så regne kvadratroden: ${\sqrt{25}}^3-->\sqrt{15625}-->125$

Man får altså samme resultat uanset rækkefølge. Dette skyldes, at rødder og eksponenter er modsatte. Læs mere om kvadratrødder her.

Regnearternes hierarki: Gange og division

Det næste vi gør, er at gange eller at dividere. På samme måde som med eksponenter og rødder, er der ikke nogen forskel på, om man ganger eller deler først.
Dette skyldes, at det at dividere med 2, svarer til at gange med $\frac{1}{2}$
Af den grund ganger og dividerer vi ofte fra venstre mod højre. Men det gør altså ikke nogen forskel på resultatet af stykket.
Prøv at regne stykket her først fra venstre mod højre, og så højre mod venstre:
$2*3*4*5*6$

Regnearternes hierarki: Plus og minus

Som rosinen i pølseenden plusser og minusser vi. Rækkefølgen mellem de to betyder på samme måde som med gange og division ikke noget, så her regner vi ofte også fra venstre mod højre.

Regnearternes hierarki: Regneeksempler

Eksempel 1

Opgave: Hvad giver $7-2*0+3/3$?

Vi starter med at regne gange og division:
$7-0+1$

Så plusser og minusser vi:
$7-0+1=8$

Altså er $7-2*0+3/3=8$

I øvrigt er det dårlig notation at bruge -tegnet. Læs om det i vores artikel om brøker.

Eksempel 2

Opgave: Reducer udtrykket: $(\mathrm{a}+2)*3^2-\mathrm{b}$

Vi starter med at ville regne det, der står inde i parentesen. Det kan vi ikke komme til, og derfor ganger vi i stedet ind i parentesen:
$3^2*\mathrm{a}+2*3^2-\mathrm{b}$

Så regner vi eksponenten:
$9*\mathrm{a}+2*9-\mathrm{b}$

Så ganger vi: $\mathrm{9a}+18-\mathrm{b}$ Nu kan vi reducere udtrykket yderligere.