En illustration af tavle med matematiske symboler og tal
Matematik
Læsetid: 10 min.
21. september 2023
Sebastian Søndergaard
Mentor

Toppunktsformlen: Udregning af toppunktet og alt imellem

Har du svært ved at huske på toppunktsformlen, eller blot leder efter smarte tricks til at tackle toppunktet bedre? Så har du fundet det rette sted, hvor jeg nu vil vise dig, hvordan toppunktsformlen anvendes. Hvorefter jeg til sidst vil vise, hvordan differentialregning også kan anvendes.

Fælles for alle andengradspolynomier er, at de har et toppunkt. Det er i dette punkt, hvor kurven har sit maksimum eller minimum. Kurven for et andengradspolynomium kaldes for en parabel. Hvis parablens grene er nedadgående, så er der tale om et maksimum. Modsat hvis grenene er nedadgående, så er det et minimum.

Illustration af minimum- og maksimumspunkter på en parabel

Figur udarbejdet på Geogebra

Toppunktsformlen

Formlen for at beregne et toppunkts koordinater er følgende:

T p ( - b 2 a ; - d 4 a )

Her svarer d til diskriminanten, som bl.a. bruges til at beregne rødderne for et andengradspolynomium, og er givet ved:

d = b 2 - 4ac

a, b og c svarer til koefficienterne for det generelle andengradspolynomium

f (x) = ax 2 + bx + c

Regneeksempel 1

Givet funktionen f (x) = - x 2 + 2x + 4 beregn toppunktet til polynomiet:
Her ønskes at bestemme koordinaterne til toppunktet for funktionen:

f (x) = - x 2 + 2x + 4

Her er koefficienterne:

a = - 1 : b = 2 : c = 4

x-værdien beregnes:

x = - 2 2 * ( - 1 )

= - 2 - 2

= 1

y-værdien beregnes, herunder beregnes diskriminanten først:

d = 2 2 - 4 * ( - 1 ) * 4

= 4 + 16

= 20

d indsættes i udtrykket for y

y = - 20 4 * ( - 1 )

= 20 4

= 5

Toppunktet for funktionen f(x) er dermed T p ( 1 ; 5 ) . Hvilket er afbildet på figuren herunder:

En illustration af en anden grads ligning samt toppunkt

Figur udarbejdet på Geogebra.

Beregning af toppunktet vha. differentialregning

På matematik B bliver man præsenteret for differentialregning. Denne regneoperation gør det en del nemmere at beregne toppunktet til andengradspolynomiet, da differentialregning beskæftiger sig med tangenthældninger og hermed måden, hvorpå funktionen ændrer sig på, når man betragter en lille tilvækst i x- og y-værdierne. Se mere på differentialregning.

Toppunktet på et andengradspolynomium bliver også kaldt for et ekstremumspunkt, hvilket betyder, at det er her tangentens hældning ændrer fortegn, så den kan gå fra at være voksende til at være aftagende og omvendt.

Dette vil sige at for at findetoppunktet kan følgende ligning for funktionen løses for x:

f ' ( x ) = 0

Som kan læses som ”Til hvilken x-værdi opfyldes udtrykket, at tangentens hældning er lig 0” Hvilket sker i toppunktet.

Regneeksempel 2

Her ønskes at beregne toppunktet til samme funktion som i første eksempel. Her anvendes differentialregning i stedet for brug af toppunktsformlen.

f (x) = - x 2 + 2x + 4

Funktionen f differentieres:

f ' ( x ) = - 2x + 2

Nu sættes den afledte funktion lig med nul og der løses for x:

f ' ( x ) = 0

- 2x + 2 = 0

Her lægges 2x til på begge sider.

- 2x + 2x + 2 = 2x

Leddene går ud med hinanden på venstresiden:

2 = 2x

Til sidst divideres der med 2

2 2 = 2x 2

x = 1

Førstekoordinaten til toppunktet er udregnet til at være 1.

x-værdien indsættes i funktion f

f (1) = - ( 1 ) 2 + 2 * 1 + 4

f (1) = - 1 + 2 + 4

f (1) = 5

Toppunktet er hermed: T p ( 1 ; 5 ) .
Hvilket også giver det samme som i regneeksempel 1.

Placeringen baseret på fortegn

Toppunktets placering i koordinatsystemets fire kvadranter kan aflæses alene baseret på fortegnet af andengradspolynomiets koefficienter. Dette er smart at have i baghovedet, hvis man har lidt svært ved at skitsere et andengradspolynomium ud fra forskriften.

Igen betragtes andengradspolynomiet:

f (x) = ax 2 + bx + c

Hvis a og b har samme fortegn: Toppunktet T p ligger i 2. eller 4. kvadrant

Hvis a og b har modsatte fortegn:

Toppunktet T p ligger i 1. eller 3. kvadrant

En illustration af kvadrant
Matematik | 15. oktober 2021
Kastanjesjov til efteråret – 3 matematiklege
Samler I også kastanjer om efteråret? Og bygger I de søde små kastanje..
Matematik | 23. marts 2020
3 sjove matematiklege
Giver lektierne ikke rigtig mening? Er I gået død i gangeregler og Mat..
Matematik | 12. oktober 2021
Bliv flyvende i matematik med heltespil
Med heltespil lærer dit barn tallene op til 1000, titalssystemet og få..
Matematik | 12. oktober 2021
4 underholdende matematiklege
Hænger dit barn med hovedet, når matematiklektierne skal laves? Gør ma..
Matematik | 19. november 2021
3 juleaktiviteter med matematik
Julen nærmer sig, hvilket betyder en masse hyggelige aktiviteter som j..
Matematik | 12. oktober 2021
3 sjove matematikøvelser til den kreative
Elsker dit barn at være kreativ ved at tegne, strikke eller noget tred..
Matematik | 31. august 2023
Brøker
Kunne du godt tænke dig at få bedre styr på brøker? Kniber det lidt me..
Matematik | 1. september 2023
Rumfang af cylinder
Hvordan er det nu lige, man beregner rumfanget af en cylinder? Hvad me..
Matematik | 30. august 2023
Differentialregning
I denne artikel finder du en introduktion til differentialregning med ..
Matematik | 9. august 2023
Gange med brøker
Er du lige begyndt at lære om brøker, men har ikke helt knækket koden ..
Matematik | 1. september 2023
Cirkler - en guide
Hvad betyder radius, diameter, areal og omkreds? Er en cirkels diamete..

Har du spørgsmål?

Har du et spørgsmål, som du ikke kan finde svar på her, så udfyld dit spørgsmål og mail nedenfor, så vi vender tilbage inden for 24 timer.

Tusinde tak for dit spørgsmål.

Vi vender tilbage på telefon eller mail inden for 24 timer.
Du er altid velkommen til at ringe direkte til os på 61 61 77 77.