Hvad er kvadratsætninger?
Kvadratsætningerne er en samling regneregler, vi bruger til at ophæve parenteser. Helt konkret bruger vi dem, når en parentes er sat i anden. De tre kvadratsætninger er:
Dem gennemgår vi én efter én og ser, hvordan vi kommer frem til dem.
Den positive kvadratsætning
Når vi har udtrykket , og vi gerne vil ophæve parentesen, så er det vigtigt, vi ved, at når vi sætter noget i anden, svarer det til at gange det med sig selv. Altså må udtrykket kunne omformuleres til . Her kan vi gange hvert led med hinanden, for så at få det forlængede udtryk . Det kan godt være rigtig svært at se, hvorfor vi kan det.
Vi kan derfor vælge at se udtrykket som et kvadrat, som vi gerne vil beregne arealet af.
![Kvadrat 1](https://mentordanmark.dk/volumes/assortedmedia/artikel-billeder/kvadrat-1.png)
Så kan vi inddele kvadratet i 2 kvadrater og 2 rektangler:
![Kvadrat 2](https://mentordanmark.dk/volumes/assortedmedia/artikel-billeder/kvadrat-2.png)
Vi kan så beregne arealet af de mindre firkanter:
![Kvadrat 3](https://mentordanmark.dk/volumes/assortedmedia/artikel-billeder/kvadrat-3.png)
Hvis vi så lægger arealet af de fire firkanter sammen, så får vi arealet af det store kvadrat:
Altså er
Den negative kvadratsætning
På samme måde kan vi gribe
an. Vi tegner et kvadrat:
Det kan vi også inddele i mindre firkanter og finde arealet af hver af dem. Her er det vigtigt at bemærke, at når vi ganger minus med minus, så får vi plus, og derfor er :
![Kvadrat 5](https://mentordanmark.dk/volumes/assortedmedia/artikel-billeder/kvadrat-5.png)
Så lægger vi de fire firkanter sammen:
Altså er den negative kvadratsætning:
Den blandede kvadratsætning
Den tredje kvadratsætning som vi kigger på, adskiller sig lidt fra de to andre, fordi den ikke består af ét udtryk sat i anden, men af to udtryk der ligner hinanden, som vi ganger sammen. De to udtryk lyder:
Vi kan gribe dem an på samme måde som vi har gjort med de 2 tidligere. Vi skriver dem op som længderne på en firkant. Nu er vores firkant ikke et kvadrat mere, fordi den ene side er
lang, og den anden er
lang:
![Kvadrat 6](https://mentordanmark.dk/volumes/assortedmedia/artikel-billeder/kvadrat-6.png)
Vi kan dele firkanten op i ét kvadrat og tre rektangler og beregne arealet af dem:
![Kvadrat 7](https://mentordanmark.dk/volumes/assortedmedia/artikel-billeder/kvadrat-7.png)
Og så lægger vi dem sammen:
Altså må den blandede kvadratsætning være:
Regneeksempler
Eksempel 1: den positive
Opgave: reducér udtrykket
mest muligt.
Vi starter med at bruge kvadratsætningen til at pakke parentesen ud:
Så kan vi lægge i h og h i sammen, og dermed får vi:
Og nu kan vi ikke reducere udtrykket yderligere, og vi må derfor være færdige.
Eksempel 2: den negative
Opgave: reducér udtrykket
Vi bruger kvadratsætningen til at pakke parentesen ud:
Og der er ikke nogen led vi kan regne yderligere på, og vi er derfor i mål.
Eksempel 3: den blandede
Opgave reducér udtrykket
Vi starter med at bruge den blandede kvadratsætning:
Du kan dykke dybere ned i kvadratsætninger i denne video fra Restudy. Her fortælles om de 3 kvadratsætninger, der er vigtige at have med, og som bl.a. skal bruges i gennemgangen af 2. gradsligninger.
Find flere videoer på Restudy.dk.