Matematikundervisning oppefra
Anton Hou Nielsen
Mentor
Indholdsfortegnelse Matematik 1. november 2023 Læsetid: 18 min.

Introduktion til Integralregning: Matematik A STX

En introduktion til integralregning for matematik på A-niveau. Opnå en forståelse for stamfunktioner, ubestemte- og bestemte integraler, og beregning af areal under graf.

Hvad er integralregning, og hvad bruger vi det til?

Hvis vi husker tilbage til differentialregning, mindes vi, at det bruges til at bestemme tangenthældninger, noget om væksthastigheder og optimering. Du kan forestille dig, at integralregning er den omvendte tvilling til differentialregning.

Vi bruger integralregning til at finde arealet under kurven for en funktion, og volumen af et omdrejningslegeme.

En illustration af integralregning

Figur 1: Finder areal under kurve fra a -> b.

Når vi finder den afledte funktion, altså f'(x) , kan vi finde vores oprindelige funktion f(x), ved at integrere funktionen. Se figur herunder:

En illustration af integralregning

Figur 2: Sammenhæng mellem differentialregning og integralregning

Stamfunktioner

Lad os starte med at se på definitionen for, hvad en stamfunktion er:

Funktionen F(x) kaldes en stamfunktion til f(x), hvis F ( x ) = f ( x )

Vær her opmærksom på, at der er forskel på at skrive med små og store bogstaver i matematik. Ifølge definitionen, er det derfor muligt at undersøge, om en funktion er en stamfunktion til en anden funktion, ved at integrere funktionen - dette kaldes integrationsprøven. Herunder laver vi et eksempel:

Eksempel 1:

Vi betragter funktionen F ( x ) = 3x 3 + 3x 2 - 6 , og ønsker at undersøge om den er en stamfunktion til f ( x ) = 9x 2 + 6x . Vi differentierer derfor funktionen F(x):

F' ( x ) = 9x 2 + 6x

Vi kan nu konkludere, at funktionen F(x) er en stamfunktion til f(x), da F ( x ) = f ( x )

Funktionen G ( x ) = 3x 3 + 3x 2 + 10 er sågar også en stamfunktion til f(x), da G' ( x ) = 9x 3 + 6x = f ( x ) . Det er altså muligt at lave uendeligt mange stamfunktioner.

Stamfunktion F(x) & G(x) er begge stamfunktioner til f(x), kun med den ene forskel, at deres sidste led, altså konstanten, er forskellig fra hinanden, vi kalder denne konstant for k, og kan nu opstille en alsidig stamfunktion med en variabel konstant:

F ( x ) = 3x 3 + 3x 2 + k

Figur 3: 4 forskellige stamfunktioner ved lodret parallelforskydning

Ubestemte integraler

Vi ved nu hvordan vi går fra F(x) til f(x), men hvordan kommer vi fra f(x) til F(x)?

Der er en helt specifik måde at angive, at en funktion er en stamfunktion til en anden funktion. I vores tilfælde ser vi på F ( x ) = 3x 3 + 3x 2 + k , som er en stamfunktion til f ( x ) = 9x 2 + 6x , her bruger vi notationen:

9x 2 + 6xdx = 3x 3 + 3x 2 + k

Heraf læses 9x 2 + 6xdx som det ubestemte integral af 9x 2 + 6xdx . Det langstrakte s, altså , kaldes et integraltegn, og 9x 2 + 6xdx kaldes integranden.

Det sidste udtryk dx er en måde at sige, vi er færdige, og x’et betyder, at x er variablen i udtrykket. Vi kan nu opskrive en definition for ubestemte integraler:

Hvis F(x) er en stamfunktion til f(x), kan vi konkludere, at F ( x ) = f ( x ) dx .

Ved at sammenfatte denne definition og den forrige, kan vi bestemme, at:

F ( x ) = f ( x ) dx F' ( x ) = f ( x )

f ( x ) dx kaldes det ubestemte integral af f(x), og f(x) kaldes for integranden.

Når vi finder stamfunktionen vha. integration, siger vi, at vi integrerer.
Lad os herunder se på et eksempel: Vi ønsker at integrerer funktionen f ( x ) = x 2 , hvilket vi skriver op herunder:

F ( x ) = f ( x ) dx = x 2 dx

For at integrere x 2 , benytter vi formel 137 i UVM’s matematik A formelsamling, se link i bunden af artiklen.

x a = 1 a + 1 x a + 1

x 2 = 1 2 + 1 x 2 + 1 = 1 3 x 3

Vi kan nu opskrive integralet:

F ( x ) = f ( x ) dx = x 2 dx = 1 3 x 3 + k

Vi skriver "+k", da vi her betragter det ubestemte integral af x 2 - se figur 3.

Arealet under graf og bestemte integraler

Vi husker fra ubestemte integraler, at 2 stamfunktioner kun afviger med en konstant, k. Det betyder altså, at vi kan lave uendelige mange stamfunktioner til en funktion . Som det ligger i ordet, så er stamfunktioner en funktion. Nu vil vi kigge på bestemte integraler, og hvordan man kan beregne arealet under en graf.

Bestemte integraler bestemmer et tal mellem 2 punkter, fx a og b, se figur 1. Formlen til at finde det bestemte integral af en funktion finder vi på side 21, formel 147 i formelsamlingen, som lyder:

a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) F ( a )

Hvor F(x) er en stamfunktion til f(x).

Her kaldes a den nedre grænse og b den øvre grænse. Vær opmærksom på notationen med klammer om stamfunktionen, da det trækker ned til skriftlig matematik, hvis man ikke husker [ F ( x ) ] a b .
Tallet F ( b ) - F ( a ) kaldes det bestemte integral af f ( x ) i [ a ; b ]

Vi ved nu, hvordan man finder bestemte integraler, det er derfor muligt at finde arealet under grafen. Se figur 4 herunder, hvor vi kigger på funktionen f ( x ) = x 2 hvor arealet er fundet mellem a = 0 og b = 2

Figur 4: Graf og x^2, og markering af areal mellem [0;2]

For at bestemme arealet, bruger vi nu formel 153, hvilket er en forkortet formel version af formel 147.

A Areal = a b ( f ( x ) dx = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) F ( a )

Inden vi kan beregne arealet, må vi finde stamfunktionen for x 2

x 2 dx = 1 3 x 3

Nu beregner vi arealet for figur 4:

A Areal = 0 2 x 2 dx = [ 1 3 x 3 ] 0 2 = ( 1 3 * 2 3 ) ( 1 3 * 0 3 ) = ( 1 3 * 8 ) ( 1 3 * 0 ) = 8 3 0 2,67

Vi kan nu konkludere, at arealet er 2,67

I matematik er der ofte et lille men, hvilket der også er her. Hvis vi ønsker at finde arealet for en funktions graf og x-aksen, hvor grafen skærer x-aksen, som den gør i figur 5, så skal vi først bestemme skæringen mellem x-aksen, da vi ellers ville få et forkert resultat.

Figur 5: Areal af en funktion, som skærer x-aksen

Vi kan let beregne skæringen mellem x-aksen, ved at sætte funktionen lig med 0:

f ( x ) := x 3 + 2x 2 1
f ( x ) = 0

The equation is solved for x by WordMat.

x = 1,61803
x = 1
x = 0,618034

Hvis vi nu ønsker at bestemme arealet af funktionen fra [-1;1.5], ved vi, at vi skal dele funktionen op i [-1;0.618] og [0.618;1.5].

Herunder beregner vi nu arealet vha. WordMat:

-1 0,618 f ( x ) d x = | 1,0075 | = 1,0075

Vi tager den numeriske værdi af resultatet, da vi ikke kan have et negativt areal

0,618 1,5 f ( x ) d x = 2,4398

Nu lægger vi de 2 arealer sammen:

1,0075 + 2,4398 = 3,4473

Vi kan nu bestemme arealet til 3,45

Areal mellem 2 grafer

Når vi ønsker at finde arealet mellem 2 grafer, skal du starte med at undersøge, hvilken der ligger øverst. Her kan du nemt bare indtegne dem i et tegneprogram, som fx GeoGebra.

Figur 6: Areal mellem 2 grafer

I figur 6, er det muligt at se, at det er den blå graf der ligger øverst, og der bliver dannet et areal mellem den blå og grønne, hvilket er afgrænset mellem a og b.

Når vi nu vil finde arealet, starter vi med at finde arealet, kun for den blå graf, og ned til x-aksen, efterfulgt af den grønne graf, og ned til x-aksen, og trækker derefter de 2 arealer fra hinanden. Se figur 7 & 8.

Figur 7: Areal for den blå graf

Figur 8: Areal for den grønne graf

Vi vil nu lave et regneeksempel, hvor vi finder arealet mellem 2 grafer:

For at finde arealet mellem 2 grafer, kan vi også bruge formel 154, som lyder

A = a b ( f ( x ) g ( x ) ) dx

hvor f ( x ) ligger over g ( x )

Vi kigger på de 2 funktioner:

f ( x ) := 0,7 x 4 + 2x 2 + 0,9x + 2
g ( x ) := 1,2 x 4 2,8x 2 + x + 1,6

Og vi bestemmer a = -1 og b = 1

A = -1 1 ( f ( x ) g ( x ) ) dx = 3,24

Vi har nu bestemt arealet til 3,24

Her finder du formelsamlingen, som jeg flere gange refererer til i artiklen.

Held og lykke med integralregningen!

Har du eller dit barn brug for en mentor?

Bliv kontaktet og få en uforpligtende snak med en af vores fagvejledere

Læs mere om mentorforløb

Hurtigst muligt I eftermiddag I aften I morgen

Matematik

Se alle

Kastanjesjov til efteråret – 3 matematiklege
Se med her og få inspiration til tre hyggelige matematiklege med kasta..
3 sjove matematiklege
Her er tre fede matematiklege, der kan være med til at gøre matematikk..
Bliv flyvende i matematik med heltespil
Med heltespil lærer dit barn tallene op til 1000, titalssystemet og få..
4 underholdende matematiklege
Hænger dit barn med hovedet, når matematiklektierne skal laves? Gør ma..
3 juleaktiviteter med matematik
Matematik og juleaktiviteter kan sagtens kombineres – se her hvordan!..
3 sjove matematikøvelser til den kreative
Elsker dit barn at være kreativ ved at tegne, strikke eller noget tred..
Brøker
Kniber det lidt med brøkregnereglerne, eller har du brug for en opfris..
Rumfang af cylinder
Hvordan er det nu lige, man beregner rumfanget af en cylinder? Hvad me..
Differentialregning
Differentialregning med fokus på hældningskoefficient, tangent, sekant..
Gange med brøker
Er du lige begyndt at lære om brøker, men har ikke helt knækket koden ..
Cirkler - en guide
Hvad betyder radius, diameter, areal og omkreds? Er en cirkels diamete..
Toppunktsformlen
Har du svært ved at huske på toppunktsformlen, eller blot leder efter ..
lukke ikon

Har du spørgsmål?

Har du et spørgsmål, som du ikke kan finde svar på her, så skriv endelig til os på info@mentordanmark.dk
Vi vender tilbage hurtigst muligt.