Diskriminanten - forstå formlen og hvad d fortæller dig

Diskriminanten er et tal, der bruges til at udregne antallet af løsninger for en andengradsligning. Antallet af løsninger afhænger af værdien d, som kan udregnes ved brug af diskriminantformlen som ses herunder.

\[d=b^2-4ac\]

For at bruge diskriminantformlen skal man kende værdierne af a, b og c. Disse værdier findes ved at aflæse den kendte andengradsligning.

Hvad er diskriminanten?

Diskriminanten bruges ved andengradsligninger og skrives ofte blot som bogstavet \(d\) . Diskriminanten kan kun udregnes, hvis man kender værdien af a, b og c, og så fortæller den, hvor mange mulige løsninger, der er til en andengradsligning.

For at beregne diskriminanten benyttes her diskriminantformlen:

\[d=b^2-4ac\]

Værdierne a, b og c kommer fra selve andengradsligningen. Formlen for en andengradsligning ses herunder:

\[ax^2+bx+c=0\]

Hvis du vil have en mere grundlæggende forklaring på a, b og c kan du læse mere på vores hjemmeside MentorDanmarks videnunivers.

Hvordan bruger man diskriminantformlen?

For at vise, hvordan diskriminantformlen bruges, tager vi udgangspunkt i følgende eksempel:

\[2x^2-10x+8=0\]

Vi aflæser værdierne af a, b og c til at være:

\[\begin{gathered}a=2 \\ b=-10 \\ c=8\end{gathered}\]

Nogle af jer vil nok bemærke, at der står \(-10\) og ikke \(10\) ud foran \(b\). Dette skyldes, at fortegnet altid vil hører med uafhængigt af om, der er tale om plus eller minus. Vær meget opmærksom på dette, da det er et sted, hvor man let kan komme til at lave fejl.

Herefter sætter vi tallene ind i diskriminantformlen \(d=b^2-4ac\):

\[d=(-10)^2-4·2·8\]

Da værdien af b er negativ, sætter vi parentes omkring b. Dette er for at sikre, at vi får det rigtige resultat. Jeg oplevede især på gymnasiet, at mange kom til at gå forkert i netop dette trin, fordi de glemte, at sætte parentes omkring værdien af b, når denne var negativ.

Vi udregner nu værdien af d:

\[\begin{gathered}d=(-10)^2-4·2·8 \\ d=100-4·2·8 \\ d=100-64 \\ d=36\end{gathered}\]

Hermed er \(d=36\). Da værdien af d er \(d>0\) betyder det, at der er to løsninger for andengradsligningen.

Hvad betyder \(d>0\), \(d=0\) og \(d<0\)?

Antallet af løsninger afhænger af værdien af d. For grafen til andengradsligningen er der til gengæld kun tre mulige udfald. Enten er der en, to eller ingen løsninger. I tabellen herunder kan man læse betydningen af d afhængig af dens værdi.

Herunder ses også illustreret tre parabler med en diskriminantværdi på hhv. \(d>0\), \(d=0\) og \(d<0\). Antallet af løsninger afspejler, hvor mange steder grafen skær eller rør x-aksen.

Er diskriminanten stadig svær at holde styr på? Med en mentor kan du få lektiehjælp i matematik til at forstå og udregne diskriminanten.

Sådan løser du en andengradsligning med diskriminanten

For at vise hvordan man løser en andengradsligning ved brug af diskriminanten, benytter vi samme eksempel som fra tidligere:

\[2x^2-10x+8=0\]

Vi opdeler nu løsningen af en andengradsligning i fire trin.

Trin 1: Find a, b og c

For at finde værdierne af a, b og c aflæser vi på andengradsligningen. Her aflæser vi a, b og c til følgende:

\[\begin{gathered}a=2 \\ b=-10 \\ c=8\end{gathered}\]

Trin 2: Beregn diskriminanten

Her benytter vi os af diskriminantformlen \(d=b^2-4ac\). Vi indsætter værdierne for a, b og c i formlen.

\[d=(-10)^2-4·2·8\]

Vi udregner først potensen.

\[d=100-4·2·8\]

Vi ganger værdierne sammen og reducerer.

\[\begin{gathered}d=100-64 \\ d=36\end{gathered}\]

Hermed er diskriminanten udregnet til \(d=36\).

Trin 3: Afgør hvor mange løsninger, der er

Da \(d=36\) og derved positiv, altså \(d>0\), er der i alt to reelle løsninger til andengradsligningen.

Trin 4: Find løsningerne

Når der er to reelle løsninger til andengradsligningen bruges følgende udtryk til udregningen af løsningernes x-værdi:

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\]

Vi indsætter værdierne \(d=36, a=2, b=-10,c=8\) og udregner.

\[x=\frac{-(-10)\pm\sqrt{36}}{2·2}\]

Vi udregner kvadratroden og reducerer.

\[x=\frac{10\pm6}{4}\]

Herefter udregner vi nu for de to x-værdier.

\[\begin{gathered}x_1=\frac{10+6}{4} \\ x_1=\frac{16}{4} \\ x_1=4\end{gathered}\]

Hermed er \(x=4\) eller \(x=1\). Derved er de to løsninger til andengradsligningen fundet. Hvis man herimod ville skrive facittet med matematik sprog ville man fremfor "eller" benytte tegnet "\(\vee\) ", da dette betyder det samme som "eller". Dette anbefales mest at gøre, hvis du går i gymnasiet. Facittet vil hermed blive skrevet som \(x=4\) \(\vee\) \(x=1\).

Kan du følge eksemplet, men har svært ved at gøre det selv? Få lektiehjælp i matematik i gymnasiet.

Hvad betyder diskriminanten for grafen?

I eksemplet fra før fandt vi frem til løsninger \(x=4\) eller \(x=1\). Dette svarer også til grafens nulpunkter. Det vil sige de steder hvor \(y=0\), og dermed de x-værdier, hvor grafen skær x-aksen. Derfor er diskriminanten også med til at fortælle, hvor mange gange grafen skærer eller rør x-aksen. Lige netop fordi, at diskriminanten fortæller antallet af løsninger til en andengradsligning, og derved antallet af nulpunkter til grafen.

Er du interreseret i at forstå mere om forskrift, parabel og a, b og c? Se vores guide til andengradspolynomier.

Typiske fejl, når du beregner diskriminanten

Når man som elev bliver bedt om at udregne diskriminanten, er der nogle typiske fejl man hurtigt kan komme til at lave.

Du glemmer fortegnet på b eller c.

En typisk fejl som vi ofte ser er, at et fortegn går glemt. Eksempelvis kan man komme til at skrive \(b=5\) i stedet for \(b=-5\). Dette kan ske hvor som helst i dine udregninger og gøre udregningerne umulige at regne med. Synes du, at du får en mærkelig diskriminant, eller at x-værdierne er svære at udregne? Så kan dette være det første sted at kigge efter fejl.

Du glemmer at sætte b i anden

I diskriminantformlen er det vigtigt at huske at sætte b i anden, \(b^2\). Dette betyder hele b-værdien med fortegn. Eksempelvis, hvis \(b=-5\), så er det 5 med minusset:

\[(-5)^2=25\]

Glemmer man at sætte b-værdien i anden kan man hurtigt komme til at få en meget lavere diskriminant en ellers tænkt.

Ligningen står ikke på standardformen

Nogle gange vil du opleve, at du ikke får givet andengradsligningen på standardformen. Altså, at alle leddene ikke står på samme side af lighedstegnet som vist herunder.

\[ax^2+bx+c=0\]

Hvis du får en opgave, der beder dig om, at løse en ligning, vil det derfor være smart at holde øje med om ligningens højeste potens står i anden, \(x^2\). Hvis den gør, er der tale om en andengradsligning, og dens skal derfor løses således. Herved vil det først og fremmest være lettest at sætte alle leddene på den samme side af lighedstegnet før, du begynder at udregne.

Du stopper efter at have beregnet d

Hvis en opgave beder dig om at finde løsningen til en ligning, skal du ikke stoppe efter at have udregnet diskriminanten. Værdien af d fortæller dig blot, hvor mange reelle løsninger der er til andengradsligningen, men den fortæller ikke noget om løsningerne selv. Du skal derfor fortsætte med at beregne x-værdierne, hvis der er en eller to mulige løsninger.

Beregn diskriminanten selv

Se diskriminanten forklaret på video

Har du lettere ved at få forklaret diskriminanten og vist, hvordan du udregner med den? Så kan du herunder få en mundtlig og visuel gennemgang af dette.

[[INDSÆT RESTUDY-VIDEO: Video om, hvad diskriminanten er, og hvordan man udregner den.]]

Test dig selv

Ofte stillede spørgsmål om diskriminanten

Hvad er diskriminanten?

Hvad er en diskriminant? Diskriminanten skrives også som bogstavet d og er et tal. Tallet beregnes ud fra værdierne a, b og c i en andengradsligning, og fortæller antallet af løsninger i den pågældende andengradsligning.

Hvad er diskriminantformlen?

Diskriminantformlen bruges til at udregne diskriminanten \(d\) ved brug af værdierne a, b og c fra andengradsligningen. Selve formlen skrive således:

\[d=b^2-4ac\]

Hvad betyder \(d>0\)?

Når \(d>0\) er der to reelle løsninger til andengradsligningen. Det vil sige, at grafen skærer x-aksen to gange.

Hvad betyder \(d=0\)?

Når \(d=0\) er der én reel løsning til andengradsligningen. Det vil sige, at grafen rører x-aksen på netop et sted på grafen, altså i toppunktet.

Hvad betyder \(d<0\)?

Når \(d<0\) er der ingen reelle løsninger til andengradsligningen. Det vil sige, at grafen ikke skærer eller rør x-aksen på noget tidspunkt.

Hvad bruger man diskriminanten til?

Diskriminanten bruges til at afgøre antallet af løsninger i en andengradsligning. Der kan være nul, en eller to løsninger afhængig af værdien af diskriminanten. Derfor bruges selve diskriminanten også til løsningen af en andengradsligninger.

Hvad er sammenhængen mellem diskriminanten og en parabel?

Diskriminanten fortæller antallet af løsninger i en andengradsligning. Her svarer løsningerne til nulpunkterne i en parabel. Altså, x-værdierne til de punkter på grafen, hvor \(y=0\).

Har du stadig svært ved diskriminanten?

Har du forstået eksemplet, men stadig svært ved selv at vide, hvilken formel eller metode du skal bruge?

Med personlig lektiehjælp kan du arbejde med præcis de områder af matematikken, du har svært ved. En mentor tager udgangspunkt i dit niveau og hjælper dig med både at forstå metoden og bruge den selv.

Få hjælp til matematik

Se lektiehjælp i matematik i gymnasiet