Hvad er en andengradsligning?

En andengradsligning er en matematisk ligning, hvor den højeste potens af den ubekendte (ofte x) er 2 (\(x^2\) ). Den standardiserede form for en andengradsligning ser således ud:

\[ax^2+bx+c=0\]

Her gælder det, at a ikke må være 0. Det skyldes, at a er andengradsleddets koefficient, og hvis a er 0, fjerner det hele andengradsleddet, da \(0*x^2=0\). I så fald vil det ikke længere være en andengradsligning, men i stedet en almindelig lineær ligning hvis b er forskellig fra 0.

Bogstaverne a, b og c er konstante tal, som også kaldes koefficienter, mens x er den ubekendte, som man forsøger at finde.

Eksempel på en andengradsligning:

Dette er et eksempel på en andengradsligning:

\[2x^2-10x+8=0\]

Dette er en andengradsligning, fordi ligningen indeholder den ubekendte (x), hvor den højeste potens af x er 2 (\(x^2\)). Desuden passer den på standardformen for en andengradsligning, hvor a = 2, b = -10 og c = 8.

Eksempel på en ligning, der ikke er en andengradsligning:

Dette er et eksempel på en ligning, som ikke er en andengradsligning:

\[4x+3=0\]

Dette er ikke en andengradsligning, fordi den højeste potens af den ubekendte (x) ikke er 2 (\(x^2\)). Hvis man sammenligner med standardformen for en andengradsligning, ses det, at a = 0, fordi der ikke er noget \(x^2\)-led. Som vi ved fra tidligere, må a aldrig være 0.

Hvad betyder a, b og c i en andengradsligning?

Bogstaverne a, b og c i en andengradsligning er de tre faste koefficienter, som beskriver, hvordan andengradsligningens parabel ser ud, når man tegner den i et koordinatsystem. Du kan læse mere om andengradspolynomium her.

Bogstaverne a, b og c i en andengradsligning er de tre faste koefficienter, som beskriver, hvordan andengradsligningens parabel ser ud, når man tegner den i et koordinatsystem. 

Her er et eksempel på en andengradsligning:

\[2x^2-3x+8=0\]

Her er:

• a=2
• b=-3
• c=8

Det er vigtigt, at fortegnet altid tages med. Det vil sige, at hvis der for eksempel står -3x, så er b = -3 og ikke bare 3. Det samme gælder for de andre koefficienter. Hvis der for eksempel står \(-2x^2\), så er a = -2, og hvis der står -8, så er c = -8.

Sådan løser du en andengradsligning med diskriminanten

Diskriminanten er et tal, der viser, hvor mange løsninger en andengradsligning har.

Beregn diskriminanten

For at beregne diskriminanten skal du bruge følgende formel:

\[d=b^2-4*a*c\]

Se hvor mange løsninger ligningen har

Når du har beregnet diskriminanten, afgør dens fortegn, hvor mange løsninger en andengradsligning har:

• d>0: Hvis d er større end 0 (positiv ), har ligningen to løsninger
• d=0: Hvis d er i lig med 0, har ligningen én løsning
• d<0: Hvis d er mindre end 0 (negativ), har ligningen ingen reelle løsninger

Eksempel på at finde diskriminanten

En andengradsligning er givet ved:

\[2x^2-10x+8=0\]

.

For at finde diskriminanten skal vi bruge formlen:

\[d=b^2-4*a*c\]

Først skal vi finde vores koefficienter, som er a, b og c. Ud fra ligningen kan vi se, at

• a = 2,
• b = -10
• c = 8.

Nu indsætter vi tallene i formlen for at beregne diskriminanten:

\[d=(-10)^2-4*2*8 = 36\]

Nu kan du se, at diskriminanten er 36. For at finde ud af, hvor mange løsninger andengradsligning har, skal du kigge på diskriminantens fortegn. Da 36 er et positivt tal (d>0), betyder det, at ligningen har to løsninger.

Andengradslignings løsningsformel

Hvis du vil løse en andengradsligning - altså finde selve løsningerne - kan du bruge andengradsligningens løsningsformel:

\[x=\frac{-b±√d}{2a}\]

Hvad betyder symbolerne?

• \(±\) betyder, at du skal lave to beregninger en med plus og en med minus, når diskriminanten er positiv. Det er netop her, de to forskellige løsninger kommer fra.
• \(√d\) betyder, at du skal tage kvadratroden af diskriminanten. Dette forklarer også, hvor en negativ diskriminant ikke giver nogen reelle løsninger. Man kan nemlig ikke tage kvadratroden til et negativt tal.

Når du skal løse ligningen, finder du først dine koefficienter a, b og c og indsætter dem i formlen for diskriminanten. Når du har fundet diskriminanten, indsætter du alle værdierne i løsningsformlen ovenfor. Alt efter om d er positiv, 0 eller negativ, vil beregningen give dig henholdsvis 2, 1 eller ingen reelle løsninger til din andengradsligning.

Hvordan løser man en andengradsligning?

Generelt: Sådan løser du en andengradsligning trin for trin:

Vi fokuserer på, hvordan man generelt løser en andengradsligning trin for trin. Bagefter kigger vi på et konkret eksempel.

Trinnene gennemgås i dybden nedenfor:

Trin 1 - Skriv ligning på standardform

Vi starter med at skrive ligningen på standardform:

\[ax^2+bx+c=0\]

Det er ikke altid, at en andengradsligning er givet på standardform fra starten. Hvis den ikke er, må vi rykke på leddene, så ligningen matcher standardformen.

For eksempel: Hvis en andengradsligning ser således ud: \(2x^2-10x=-8\), skal vi lægge 8 til på begge sider af lighedtegnet for at få den på standardform: \(2x^2-10x+8=0\). Nu står ligningen på standardform og vi kan gå videre til trin 2.

Trin 2 - Find a, b og c

Nu skal vi finde koefficienterne a, b og c. Vi kigger på ligningen og identificerer

• a, som står foran \(x^2\)
• b, som står foran x
• c, som er den eneste koefficient, der ikke står foran en ubekendt værdi (x).

Det er meget vigtigt at huske fortegnene på koefficienterne, da det ellers vil føre til fejl i de næste trin.

Trin 3 - Vælg den relevante løsningsmetode

Når du har fundet koefficienterne, skal du vælge den relevante løsningsmetode. Generelt bruger man diskriminantmetoden og andengradsligningens løsningsformel, men visse andengradsligninger kan løses endnu enklere.

Trin 4 - Beregn løsningerne

Når du har valgt den relevante løsningsmetode, bruger du metoden til at beregne løsningerne (værdierne for x) i andengradsligningen.

Trin 5 - Kontrollér resultatet

Når du har fundet løsningen eller løsningerne til andengradsligningen, kan du kontrollere resultatet. Det gør du ved at indsætte dine fundne x-værdier i den oprindelige ligning. Hvis udregningen giver 0, har du fundet de helt rigtige løsninger. Hvis ikke, skal du gå tilbage og se om der er sket en fejl.

Eksempel: Sådan løser du en andengradsligning trin for trin:

En andengradsligning er givet ved:

\[2x^2-10x+8=0\]

Trin 1 - Skriv ligning på standardform

Da andengradsligningen allerede står på standardform, behøver vi ikke at rykke rundt på leddene. Vi kan gå direkte videre til trin 2.

Trin 2 - Find a, b og c

Vi aflæser koefficienterne ud fra ligningen:

• a = 2
• b = -10
• c = 8

Trin 3 - Vælg den relevante løsningsmetode

Nu kan vi vælge den relevante løsningsmetode. Da andengradsligningen står på standardform og indeholder alle tre led, er det bedst at bruge standardmetode til at løse den. Vi kan også faktorisere det, men det kræver ofte, at man kan se møstrene hurtigt. Vi beregner derfor først diskriminanten, og derefter bruger andengradsligningens løsningsformel til at løse den.

Trin 4 - Beregn løsningerne

Nu har vi valgt den relevante løsningsmetode og derfor kan vi begynde med at løse ligningen.

Beregn diskriminant:

Vi starter med at finde diskriminanten ved at bruge formlen:

\[d=b^2-4*a*c\]

Vi indsætter vores koefficienter, som vi fandt før:

\[d=(-10)^2-4*2*8=36\]

Nu kan du se, at diskriminanten er 36. Da diskriminanten er positiv, ved vi, at ligningen har to løsninger.

Beregn løsningen eller løsningerne:

Nu anvender vi andengradslignings løsningsformel:

\[x=\frac{-b±√d}{2a}\]

Vi indsætter vores værdier i formlen:

\[x=\frac{-(-10)±√36}{2*2}\]

Tidligere fandt vi ud af, at diskriminanten er positiv, derfor har ligningen to løsninger.

Vi deler ligningen i to og starter med den første løsning (\(x_1\)) - her bruger vi plus:

\[x_1=\frac{-(-10)+√36}{2*2} =4\]

Nu finder vi den anden løsning (\(x_2\)) - her bruger vi minus:

\[x_2=\frac{-(-10)-√36}{2*2} =1\]

Nu kan du se, at løsningerne til ligningen er 4 og 1.

Trin 5 - Kontrollér resultatet

For at være helt sikre på, at vi har regnet rigtigt, laver vi en kontrol ved at sætte vores fundne x-værdier tilbage i den oprindelige ligning:

Vi starter med løsning 1 (\(x_1=4\) ):

\[2*4^2-10*4+8=0\]

Da det giver 0, er 4 en korrekt løsning

Nu tjekker vi løsning 2 (\(x_2=1\) ):

\[2*1^2-10*1+8=0\]

Da det giver 0, er 1 også en korrekt løsning.

Hvordan opstiller man selv en andengradsligning?

Man kan opstille en andengradsligning ved at selv vælge koefficienterne a, b og c og derefter bruge standardformen til at lave en ligning.

For eksempel vælger vi, at a = 2, b = -3 og c = 1. Hvis vi indsætter dette i standardformen, får man \(2x^2-3x+1=0\) . Nu har du selv lavet en andengradsligning og du kan derfor prøve at løse den. Dog skal man bemærke, at a skal være forskellig fra 0, da det ellers ikke længere er en andengradsligning, da x²-leddet forsvinder.

Skal man altid bruge diskriminanten?

Man behøver ikke altid at bruge diskriminanten for at løse en andengradsligning. Selvom det er standardmetoden, er det ikke et krav, at den skal bruges. Hvis andengradsligningen er simplere og den mangler et af leddene, findes der simplere metoder til at beregne den.

Når c = 0

Hvis c = 0 i din andengradsligning, kan du løse den ved at sætte x uden for en parentes (faktoriserer) og derefter bruge nulreglen. Nulreglen siger, at hvis to tal ganget med hinanden giver 0, skal mindst ét af tallene være 0.

Eksempel:

\[x^2+4x=0\]

Ideen er, at du omskriver ligningen ved at faktorisere, dvs. at sætte x uden for en parentes:

\[x(x+4)=0\]

Nu har du to led, der er ganget med hinanden. For at ligningen kan give nul, kan vi splitte den op og sætte begge led i lig med 0. Den første løsning er altså automatisk \(x=0\).

Den anden løsning finder du hurtigt ved at isolere x i: \(x+4=0⇒x=-4\)

Nu kan du se, at ligningen har de to løsninger 0 og - 4.

Når b = 0

Hvis b = 0, kan man løse andengradsligningen ligesom en helt almindelig ligning. Du skal bare isolere \(x^2\) på den ene side af lighedtegnet og derefter tage kvadratroden.

For eksempel:

\[x^2-9=0\]

Du starter med at isolere x²:

\[x^2=9\]

Herefter tager du kvadratroden på begge sider, på den måde får du isoleret x:

\[x= ±√9 =±3\]

Nu kan du se, at løsningerne er 3 og -3

Hvad betyder løsningerne grafisk?

Grafisk er løsningerne til en andengradsligning de steder, hvor grafen (som kaldes en parabel) skærer x-aksen. Disse skæringspunkter kaldes også for grafens rødder.

Når du løser en andengradsligning:

\[ax^2+bx+c=0\]

Finder du præcis de x-værdier, hvor y er lig med 0. Det er netop definitionen på et skæringspunkt med x-aksen.

Diskriminanten påvirker også den grafiske løsning. Diskriminanten bestemmer direkte, hvordan parablen placerer sig i koordinatsystemet ift. x-aksen.

• Hvis d er positiv (d>0), skærer parablen x-aksen to steder:

• Hvis d er negativ (d<0), skærer parablen x-aksen ingen steder:

• Hvis d = 0, skærer parablen x-aksen et sted:

Typiske fejl når du løser andengradsligninger

Det er let at lave småfejl undervejs i udregningen. Her er de mest almindelige fejl, du skal være særligt opmærksom på:

Du finder a, b og c forkert

En af de største fejl er at bestemme værdierne a, b og c forkert. Hvis man aflæser dem forkert, bliver både diskriminanten og løsningsformlen forkert.

Mange tror fejlagtigt, at a altid er det første tal i ligningen, b er det midterste tal og c er det sidste. Men rækkefølgen kan sagtens være byttet rundt.

Eksempel: Tag ligningen \(5-2x+3x^2=0\). Her er det første tal ikke a og det sidste tal ikke c. Du kan også omskrive den for at gøre det nemmere at identificere koefficienterne: \(3x^2-2x+5=0\). Dog gælder det, at du skal altid kigge x-værdierne for at finde koefficienterne. a står altid foran \(x^2\) så a = 3, b står altid foran x så b = -2, og c er det konstante led uden x så c = 5.

Ligningen står ikke på standardform

En anden type fejl er, hvis ligningen ikke står på standardform. Hvis du forsøger at aflæse a, b og c, før ligningen står på standardform risikerer du at få de forkerte tal, og så bliver hele din udregning forkert. Sørg altid for at omskrive ligningen til standardform ved at flytte rundt på leddene, før du finder a, b og c.

Du glemmer ± i løsningsformlen

Hvis du glemmer ± i løsningsformlen, koster det en løsning. Når diskriminanten er positiv, ved du, at der skal være to løsninger. Det er netop ±, der sikrer, at du finder begge løsninger. Glemmer du det, finder du kun den ene, og så har du ikke løst ligningen fuldstændigt.

Du regner (-b) forkert

I min undervisning ser jeg ofte elever glemme minus i -b. Denne fejl sker typisk, når b er et negativt tal i forvejen. Mange bliver i tvivl og indsætter det negative tal uden at ændre fortegnet. Hvis b er negativ, skal der reelt stå -(-b), hvilket bliver et positivt tal. Hvis du indsætter b med det forkerte fortegn, ender du med at finde løsningerne til en helt anden ligning end den, du var i gang med.

Du stopper efter diskriminanten

En anden fejltype er, at nogle stopper med at regne, så snart de har fundet diskriminanten. Diskriminanten er kun et mellemtrin, der fortæller, hvor mange løsninger der er. Hvis opgaven beder dig om at finde løsningerne, skal du altid fortsætte og indsætte diskriminanten i selve løsningsformlen.

Prøv vores andengradsligningsberegner

Se andengradsligninger forklaret på video

Test dig selv

Ofte stillede spørgsmål om andengradsligninger

Hvad er en andengradsligning?

En andengradsligning er en ligning, hvor den højeste potens af den ukendte variabel x er 2 (x²).

Hvordan løser man en andengradsligning?

Du løser en andengradsligning ved først at omskrive den til standardform, så du kan aflæse koefficienterne a, b og c. Derefter finder du diskriminanten, og til sidst indsætter du tallene i løsningsformlen for at finde værdierne for x.

Hvad er formlen for en andengradsligning?

Standardformen for andengradsligning skrives som: \(ax^2+bx+c=0\) .

Når du har fundet diskriminanten, bruger du løsningsformlen for at løse ligningen:

\[x=\frac{-b±√d}{2a}\]

Hvad betyder a, b og c?

a, b og c i en andengradsligning er de tre faste koefficienter i ligningen, som beskriver hvordan andengradsligningens parabel ser ud og er placeret, når man tegner det i et koordinatsystem.

Skal man altid bruge diskriminanten?

Nej, ikke nødvendigvis. Hvis andengradsligningen er simpel, f.eks når c = 0 eller b = 0, kan du ofte bruge metoder f.eks. faktorisering eller isolering af x for at løse den.

Hvor mange løsninger kan en andengradsligning have?

En andengradsligning kan have enten 0, 1 eller 2 reelle løsninger. Antallet afhænger helt af diskriminantens fortegn om den er positiv, negativ eller nul.

Har du stadig svært ved andengradsligninger?

Har du forstået eksemplet, men stadig har svært ved selv at vide, hvilken metode du skal bruge? Her er det helt normalt, at matematikken kan hurtigt virke mere uoverskuelig end forventet.

En mentor kan forklare det trin for trin og hjælpe dig med at forstå, hvilke metoder der skal bruges og hvordan man kan bruge dem. Med personlig lektiehjælp kan du arbejde med præcis de områder af matematikken, du har svært ved. En mentor tager udgangspunkt i dit niveau og hjælper dig med både at forstå metoden og bruge den selv.