Fibonacci-tal: Hvad er Fibonacci-talfølgen, og hvordan regner man den ud?

Hvad er Fibonacci-tal?

Fibonacci-talfølgen starter med tallene 0 og 1 og fortsætter herefter med nye tal, der findes ved at lægge de to foregående sammen. Derfor bliver rækken: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 osv. På billedet ovenfor er den første del af Fibonacci-talfølgen illustreret med kvadrater af forskellig størrelse, hvor tallene i kvadraterne viser deres sidelængder. Lægger du 5 og 8 sammen, får du 13, som er sidelængden på det næste kvadrat. På engelsk hedder talfølgen Fibonacci sequence.

Sådan fungerer Fibonacci-talfølgen

Nedenfor er det vist, hvordan de første tal i Fibonacci-talfølgen beregnes.

• \(0 + 1 = 1\)
• \(1 + 1 = 2\)
• \(1 + 2 = 3\)
• \(2 + 3 = 5\)
• \(3 + 5 = 8\)

Som du kan se på beregningerne ovenfor, tager man altså de to forrige tal og beregner summen for hvert nye tal.

Eksempel: Find de næste Fibonacci-tal

De første 30 tal i følgen er angivet herunder. Fibonacci-tallene fortsætter ud i det uendelige, men vi arbejder ofte med den første del.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10.946, 17.711, 28.657, 46.368, 75.025, 121.393, 196.418, 317.811, 514.229

Fibonacci-formlen: Sådan bygger du talrækken op, led for led

Vi ser nu på den rekursive formel, der kan bruges til at udregne Fibonacci-tal. De første to tal i følgen er \(F_0=0\) og \(F_1=1\). Resten kan beregnes med formlen:

\[F_n=F_{n-1} + F_{n-2}\]

Her er \(F_n\) det Fibonacci-tal, du vil finde. \(F_{n-1}\) er tallet før og \(F_{n-2}\) er tallet to pladser før. Det lille nedsænkede \(n\) betegner altså, hvilket Fibonacci-tal i rækken, der er tale om. Det er vigtigt at være opmærksom på, at vi starter rækken med at tælle fra \(n=0\), da \(F_0=0\). Formlen siger altså, at for at finde et nyt Fibonacci-tal, skal du lægge de to foregående sammen.

Hvis vi for eksempel vil finde \(F_6\) - som er det 7. tal i talfølgen, når vi starter fra \(F_0\), kommer regnestykket til at se sådan her ud:

\[F_6=F_5+F_4=5+3=8\]

Det er lig med 8. Vi kan nu bruge \(F_6\) til at finde \(F_7\).

\[F_7=F_6+F_5=8+5=13\]

Dette kan man fortsætte med at gøre for hvert nye tal, man vil finde. Det er dog en metode, der tager lang tid, hvis man ønsker at finde et tal længere henne i talrækken, og derfor findes der også en anden metode, man kan bruge.

Er det svært at forstå mønsteret Fibonacci-talfølgen? Måske kan du følge eksemplerne, men bliver i tvivl, når du selv skal regne opgaver. Få en mentor i matematik som kan hjælpe dig med at forklare de svære emner, så du får helt styr på de ting, der er svære.

Læs mere om lektiehjælp i matematik

Binets formel – en direkte måde at finde et Fibonacci-tal på

Den rekursive formel, vi lige har kigget på, kan kun bruges til at finde det næste tal i følgen, når du kender de to foregående. Binets formel kan derimod bruges til at beregne et hvilket som helst tal i følgen uden at kende alle de foregående. Den er derfor særlig brugbar, hvis du skal finde et tal langt henne i følgen, hvor det vil tage lang tid at anvende den rekursive formel. Binets formel er:

\[F_n = \frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n \times \sqrt{5}}\]

Alternativt kan den vises med \(\varphi\):

\[F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\]

Hvor \(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) og \(\psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\).

Formlen er mest relevant, når man arbejder med matematik på et højere niveau, da den blandt andet indeholder kvadratrod og potenser. Du behøver altså ikke at kunne udlede selve formlen for at kunne forstå Fibonacci-talfølgen og regne opgaver om den. Den viser, at mønsteret i talrækken kan beskrives med mere avanceret algebra.

Sådan bruger du Binets formel

Hvis vi for eksempel ønsker at finde det 18. Fibonacci-tal (dvs. \(F_{17}\), da rækken starter ved \(F_0\)) med Binets formel, kommer beregningen til at se sådan her ud:

\[F_{17} = \frac{(1 + \sqrt{5})^{17} - (1 - \sqrt{5})^{17}}{2^{17} \times \sqrt{5}}=1597\]

Det 18. Fibonacci-tal er altså 1597.

Hvornår skal du bygge talrækken op, og hvornår er Binets formel hurtigere?

Den rekursive formel er god til at forstå, hvordan talrækken bygges op og beregne de første Fibonacci-tal. Det er en mere simpel formel, som er lettere at anvende, men til gengæld kræver det, at du kender de foregående tal.

Binets formel kan bruges, hvis man kan arbejde med mere avanceret matematik, og den er god til at finde et hvilket som helst tal i Fibonacci-talfølgen, da den ikke kræver, at de to foregående tal er kendte. Du kan derfor bruge den til at beregne et Fibonacci-tal direkte udelukkende ved at vide, hvilket nummer tal i følgen du vil finde.

Hvad bruger man Fibonacci-tal til?

I matematikundervisningen bruger vi Fibonacci-tal til at forstå mønstre, rekursion og formler. Talrækken kan også bruges til datalogi og algoritmer. Man kan i nogle tilfælde se Fibonacci-lignende mønstre i naturen, f.eks. i bladstilling, solsikkers frø og kogler. Det er alle eksempler på, hvordan matematiske mønstre kan bruges til at beskrive ting, man ser omkring sig. Fibonacci-tallene har fået deres navn fra den italienske matematiker Leonardo Fibonacci, som brugte talrækken til at forudsige udviklingen i antallet af kaniner i en bestand, hvis man antog, at hvert kaninpar fik to nye kaniner hver måned, og de nye kaniner selv kunne begynde at få unger, når de var to måneder gamle.

Fibonacci-tal og det gyldne snit

Fibonacci-tallene kan også bruges til at beskrive det gyldne snit, som anvendes i kunsten for at skabe balance i f.eks. malerier og fotografier. Du har måske mødt det gyldne snit i dansk- eller billedkunstundervisningen, men der er faktisk en matematisk forklaring bag, som tager afsæt i Fibonacci-tallene. Hvis vi dividerer et Fibonacci-tal med det foregående Fibonacci-tal, får vi et resultat, der kommer tættere og tættere på 1,618, jo længere vi kommer i talrækken. For eksempel er \(13:8=1,625\), mens \(55:34=1,618\). Dette særlige forhold, bruges i det gyldne snit, og betegnes med det græske bogstav \(\phi\).

Ofte stillede spørgsmål om Fibonacci-tal

Hvad er Fibonacci-tal?

Fibonacci-tal er en talfølge, hvor hvert tal er summen af de to foregående. Den starter med 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 og fortsætter uendeligt, og tallene bliver større og større, jo længere man kommer i talfølgen.

Hvad er de første Fibonacci-tal?

De første 8 Fibonacci-tal er: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. De næste kan udregnes ved at lægge de to forrige sammen.

Hvad bruger man Fibonacci-tal til?

Man bruger primært Fibonacci-tal som eksempel i matematik, når man lærer om mønstre, talrækker og rekursion. Derudover bruges de også som en matematisk beskrivelse for det gyldne snit, der bruges i kunst og fotografering. Sammenhængen mellem Fibonacci-tallene danner nemlig et særligt mønster, der hænger tæt sammen med det gyldne snit.

Hvor kommer Fibonacci-navnet fra?

Leonardo Fibonacci har lagt navn til talrækken, fordi han udbredte kendskabet til Fibonacci-tallene i Europa gennem en populær, matematisk bog, som han udgav i år 1202. Han brugte blandt andet talrækken til at beskrive, hvordan antallet af kaniner i en bestand udviklede sig. Leonardo Fibonacci var dog ikke den første, der opdagede tallene. De var allerede kendt i blandt andet indisk matematik, men Fibonacci fik æren for dem, da han præsenterede dem i sin bog.