Hvad er faktorisering?

Faktorisering betyder, at man omskriver et udtryk til et produkt af faktorer, altså gangestykker. Det svarer til at gå den modsatte vej af at gange parenteser ud. I stedet for at have flere led adskilt af plus og minus samler man dem i parenteser.

Her er et eksempel på et andengradspolynomium:

\[x^2-5x+6\]

Dette kan skrives som:

\[(x-2)(x-3)\]

Det første udtryk er skrevet udvidet form, men det andet udtryk er skrevet på faktoriseret form. Begge udtryk giver det samme, men de er skrevet på forskellige måder.

Hvorfor faktoriserer man?

Man faktoriserer for at gøre et udtryk lettere at arbejde med. Det er især nyttigt, når man skal finde nulpunkter eller løse andengradsligninger.

Et nulpunkt er en x-værdi, hvor f(x)=0. Grafisk svarer det til et punkt, hvor grafen skærer eller rører x-aksen.

Faktorisering hænger også sammen med nulreglen. Nulreglen siger, at hvis et produkt er lig med 0, skal mindst én af faktorerne være lig med 0. Derfor kan man bruge faktorisering til at løse ligninger.

Hvordan faktoriserer man et andengradspolynomium?

Et andengradspolynomium kan skrives sådan:

\[f(x)=ax^2+bx+c\]

Her er a, b og c tal, hvor a må ikke være 0

Når man sætter f(x)=0, får man et andengradsligningen:

\[ax^2+bx+c=0\]

Hvis andengradspolynomiet har reelle nulpunkter \(x_1\) og \(x_2\) , kan det skrives på faktoriseret form, som ser således ud:

\[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Her er a koefficienten foran \(x^2\) fra andengradspolynomiet, mens \(x_1\) og \(x_2\) er polynomiets nulpunkter.

1. Find nulpunkterne

Start med at sætte f(x) = 0. Hvis nulpunkterne ikke er oplyst, skal du finde dem før du kan bruge faktorformen.

Vi bruger følgende eksempel:

\[f(x)=x^2-5x+6\]

Først sætter vi funktionen lig med 0 for at finde nulpunkterne:

\[x^2-5x+6=0\]

Dette kan du blandt andet bruge diskriminanten og formlen for andengradsligninger til at finde.

Når man regner nulpunkterne ud, får man:

\(\begin{gathered}x_1= 2 \\ x_2= 3\end{gathered}\)

På billedet overfor ses nulpunkterne grafisk.

2. Skriv faktorerne

Når du kender nulpunkterne, kan du opstille faktorerne:

Et nulpunkt på \(x_1= 2\) giver faktoren:

\[(x-2)\]

Et nulpunktet på \(x_2=3\) giver faktoren:

\[(x-3)\]

3. Skriv polynomiet på faktoriseret form

Nu indsætter vi faktorerne i den faktoriserede form:

\[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\]

I vores eksempel er a = 1 og faktorne = \((x-2)\) og \((x-3)\). Derfor får vi:

\[f(x)=1(x-2)(x-3)\]

Da det ikke er nødvendigt at skrive 1 foran parenteserne, kan vi forenkle udtrykket til:

\[f(x)=(x-2)(x-3)\]

Det er den faktoriserede form af polynomiet.

4. Kontrollér resultatet

Du kan kontrollere faktoriseringen ved at gange parenteserne ud igen og undersøge, om du får det oprindelige polynomium.

Vi ganger parenteserne ud:

\[(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6\]

Nu samler vi de to led med x:

\[x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6\]

Resultatet svarer til det oprindelige polynomium. Derfor er faktoriseringen korrekt. Det er en god idé at kontrollere resultatet, da det hjælper dig med at opdage eventuelle fejl i dine beregninger.

Er faktorisering stadig svær at få til at give mening? Så kan lektiehjælp i matematik hjælpe med at finde nulpunkter, vælge de rigtige faktorer, holde styr på fortegnene og kontrollere ved udregning.

Hvad er nulreglen?

Nulreglen siger, at hvis et produkt er lig med 0, skal mindst én af faktorerne være lig med 0.

Eksempelvis gælder:

\[A*B=0\]

I følge nulreglen skal A = 0 eller B = 0, eller begge dele.

Hvornår bruger man nulreglen?

Du bruger nulreglen, når du skal løse en ligning, hvor den ene side er et produkt, og den anden side er 0. Derfor faktoriserer man ofte en andengradsligning først. Det er vigtigt at huske, at man ikke altid bare kan bruge nulreglen på alle ligninger. Ligningen skal først være skrevet på en form, hvor det giver mening at anvende nulreglen.

Sådan løser du en ligning med nulreglen

Tag udgangspunkt i ligningen:

\[(x-2)(x-3)=0\]

Vi sætter først den ene faktor lig med 0:

\[\begin{gathered}(x-2)=0 \\ x = 2\end{gathered}\]

Derefter sætter vi den anden faktor lig med 0:

\[\begin{gathered}(x-3)=0 \\ x=3\end{gathered}\]

Ligningens løsninger er derfor x = 2 og x = 3.

Det er vigtigt, at produktet er lig med 0, før dy bruger nulreglen. Dette er også én måde at løse andengradsligninger på, når de er skrevet på faktoriseret form. Der findes også flere andre metoder til at løse andengradsligninger.

Hvordan hænger faktorisering, nulpunkter og nulreglen sammen?

Faktorisering, nulpunkter og nulreglen hænger sammen, fordi de kan bruges sammen til at løse andengradsligninger.

Du starter med at finde nulpunkterne, hvis de ikke allerede er oplyst. Derefter bruger du nulpunkterne til at opstille faktorerne og skrive polynomiet på faktoriseret form. Til sidst kan du bruge nulreglen til at finde løsningerne til ligningen.

I eksemplet: \(f(x)=x^2-5x+6\) fandt vi nulpunkterne \(x_1=2\) og \(x_2=3\) .

\[f(x)=x^2-5x+6\]

Når vi sætter funktionen lig med 0, får vi:

\[(x-2)(x-3)=0\]

Ved hjælp af nulreglen finder vi løsningerne x = 2 og x = 3.

Nulpunkterne og ligningens løsninger er dermed de samme x-værdier, når vi undersøger ligningen f(x)=0.

Kan du følge eksemplet, men har svært ved selv at faktorisere? Så kan lektiehjælp i matematik være en stor hjælp.

Hvad hvis polynomiet kun har ét nulpunkt?

Hvis et andengradspolynomium kun har ét reelt nulpunkt, har det et dobbelt nulpunkt. Hvis nulpunktet eksempelvis er \(x = 2\), kan polynomiet skrives sådan:

\[f(x) = a(x - 2)^2\]

Det sker, når diskriminanten er lig med 0. Grafen rører x-aksen i ét punkt uden at skære igennem den.

Hvad hvis polynomiet ikke har reelle nulpunkter?

Hvis diskriminanten er mindre end 0, har andengradsligningen ingen reelle løsninger. Grafen skærer eller rører derfor ikke x-aksen.

I så fald kan polynomiet ikke faktoriseres i reelle lineære faktorer. Det kan dog stadig faktoriseres ved hjælp af komplekse tal. 

Typiske fejl ved faktorisering og nulreglen

Du bruger forkerte fortegn

Hvis nulpunktet er \(x = 2\), er faktoren:

\[(x - 2)\]

og ikke \((x + 2)\). Hvis x = -2, indsætter du værdien i faktoren ((x-(-2))), hvilket er det samme som (x+2). Derfor er det vigtigt at have styr på fortegne ellers finder du løsninger til det forkerte polynomiet.

Du glemmer a

Hvis koefficienten foran \(x^2\) ikke er 1, skal du huske at medtage \(a\) med i faktorformen ellers risikerer du at få et forkert svar.

For eksempel skriver du: \(2x^2-10x+12\) som: \(2(x-2)(x-3)\)

Du bruger nulreglen før udtrykket er faktoriseret

Nulreglen bruges, når ligningen indeholder et produkt, der er lig med 0. Derfor skal du først omskrive ligningen til faktoriseret form.

Ligningen er ikke lig med 0

Hvis produktet ikke er lig med 0, kan du ikke bruge nulreglen direkte. Du skal først omskrive ligningen, så den har den rigtige form.

Du kontrollerer ikke faktoriseringen

Når du ganger parenteserne ud igen, kan du kontrollere, om du har faktoriseret korrekt. Hvis resultatet svarer til det oprindelige polynomium, ved du, at faktoriseringen er rigtig. Hvis du ikke kontrollerer dit resultat, risikerer du at overse en fejl og dermed få opgaven forkert.

Se faktorisering forklaret på video

Hvis du lærer bedst ved at se metoden blive gennemgået trin for trin, kan du se forklaringen her.

Øv faktorisering: Vælg den rigtige faktoriserede form

Test dig selv

Her kan du teste dig selv i at løse nogle opgaver om faktorisering.

Ofte stillede spørgsmål om faktorisering

Hvad er faktorisering?

At faktorisere et udtryk betyder, at man omskriver det fra udvidet form til faktoriseret form. I stedet for at have et udtryk med flere led, der er adskilt af plus og minus, omskriver man det til et produkt af faktorer.

Hvordan faktoriserer man et andengradspolynomium?

1. Find nulpunkterne
2. Find faktorerne
3. Skriv ligningen på faktoriseret form
4. Brug nulreglen
5. Find løsningerne til ligningen

Hvad er nulreglen?

Nulreglen siger, at hvis produkt er lig med 0, skal mindst én af faktorerne i produktet være lig med 0.

Hvornår bruger man nulreglen?

Man bruger nulreglen, når et produkt er lig med 0, og man vil finde løsningerne til en ligning.

Hvordan hænger nulpunkter og faktorisering sammen?

Hver faktor i en faktorisering afslører direkte et nulpunkt. Hvis du kender nulpunkterne, kan du omvendt opstille faktorene og skrive ligningen på faktoriseret form.

Kan alle andengradspolynomier faktoriseres?

Nej, ikke hvis vi begrænser os til reelle tal. Et andengradspolynomium kan kun faktoriseres med reelle tal, hvis diskriminanten er større end eller lig med nul. Hvis diskriminanten er mindre end 0, har polynomiet ingen reelle nulpunkter og kan derfor ikke faktoriseres uden brug af komplekse tal.

Har du stadig svært ved faktorisering?

Kan du følge eksemplet, men har stadig svært ved selv at se, hvordan et polynomium skal faktoriseres? Med personlig lektiehjælp i matematik i gymnasiet kan du arbejde med præcis de opgaver og metoder, du har svært ved. En mentor tager udgangspunkt i dit niveau og hjælper dig med både at forstå fremgangsmåden og bruge den selv.