Nulpunkter – sådan aflæser og beregner du dem

Hvad er nulpunkter?

Som kort beskrevet ovenfor er nulpunkter de x-værdier, hvor funktionsværdien er nul. Det vil altså sige, at hvis du har en funktion f(x), så vil dens nulpunkter være de x-værdier, hvor f(x)=0.

I et koordinatsystem kan nulpunkterne også beskrives som det sted på x-aksen, hvor grafen skærer x-aksen. Disse to beskrivelser passer også sammen, da x-aksen netop er der, hvor vi altid er ved nul på y-aksen.

På billedet kan vi aflæse, at funktionen f(x) har to nulpunkter. En funktion kan sagtens krydse x-aksen flere gange, afhængigt af funktionsforskriften, og derfor kan der være mere end ét nulpunkt. I denne artikel vil vi kun beskæftige os med funktioner med maksimalt to nulpunkter.

Eksempel

Hvis vi eksempelvis har en funktion f(x), hvor \(f(2)=0\) ved vi, at \(x=2\) er et nulpunkt.

Hvordan finder man nulpunkter?

Du finder nulpunkter ved at sætte \(f(x)=0\) og løse ligningen. Vi ser nu på hvordan man kan finde nulpunktet for en lineær funktion. Lad os sige at:

\[f(x)=2x-4\]

Hvis vi nu prøver at sætte \(f(x)=0\), får vi at:

\[0=2x-4\]

Ved at isolere x og beregne dens værdi, får vi nu, at \(x=2\) er et nulpunkt for f(x).

På billedet af grafen i koordinatsystemet aflæser vi, at nulpunktet også her er x=2. Vi får altså det samme, når vi finder nulpunktet ved beregning, som når vi aflæser nulpunktet i koordinatsystemet.

Hvordan ser man nulpunkter på en graf?

På billedet ser vi en funktion med ét nulpunkt, en funktion med to nulpunkter og en funktion uden nulpunkter. Vi finder et nulpunkt på en graf ved at finde x-aksen, som er den vandrette akse i koordinatsystemet. Derefter ser vi, hvor funktionen rører x-aksen, og x-værdien i dette punkt er altså vores nulpunkt.

Er nulpunkter stadig svære at få til at give mening? Få en mentor der kan hjælpe dig med at forklare emnet og få helt styr på alle formler, begreber og udregninger.

Læs mere om lektiehjælp i matematik

Hvad er forskellen på et nulpunkt, en rod og en løsning?

Du har muligvis hørt din lærer blande ordene nulpunkt, rod og løsning sammen. Dette er, fordi de tre ord betyder det samme, men bruges i forskellige sammenhæng. Når vi taler om et nulpunkt, taler vi netop om den x-værdi, hvor funktionen er lig med nul. Når vi bruger ordet rod, mener vi en rod i et polynomium, altså der hvor parablen rører x-aksen. Når vi taler om en løsning, så mener vi den x-værdi, der løser ligningen f(x)=0.

Disse tre ord er netop det samme, men beskrevet på forskellige måder. Du behøver derfor ikke blive forvirret, når disse ord blandes sammen med hinanden. Det er oftest blot fordi vi skelner imellem at tale om funktioner, ligninger eller grafer.

Hvordan finder man nulpunkter for et andengradspolynomium?

Nu vil vi kigge på, hvordan man finder nulpunkter til andengradsligninger. Her skal vi nemlig bruge nulpunktsformlen, som man kan finde i formelsamlingen. Lad os starte med at sige, at vi har en funktion:

\[f(x)=x^2-5x+6\]

Vi finder nulpunkterne ved at sætte \(f(x)=0\) , så vi får altså, at:

\[0=x^2-5x+6\]

Hermed har vi nu lavet en andengradsligning ud af vores andengradspolynomium. Løsningerne til denne andengradsligning er altså de samme x-værdier, som er nulpunkter i vores andengradspolynomium. Du kan bruge følgende guide til at løse andengradsligningen.

Hvad fortæller diskriminanten om nulpunkterne?

Værdien af diskriminanten fortæller os, om der er hhv. 0, 1 eller 2 løsningerne til ligningen. Vi kan bruge følgende tabel til at bestemme antallet af løsninger ud fra diskriminanten.

Vi bruger eksemplet fra forrige afsnit og beregner diskriminanten med formlen:

\[d=b^2-4ac\]

Vi aflæser først vores \(a\), \(b\) og \(c\) værdier i andengradsligningen \(0=x^2-5x+6\), og får at:

• \(a=1\)
• \(b=-5\)
• \(c=6\)

Vi indsætter nu værdierne i formlen for d.

\[\begin{gathered}d=(-5)^2 - 4 \cdot 1\cdot6 \\ \Rightarrow d=25-24 \\ \Rightarrow d=1\end{gathered}\]

Det giver \(d=1\). Vi ved derfor, at der må være 2 løsninger til vores andengradsligning.

Sådan bruger du nulpunktsformlen

Vi kan finde løsningerne til andengradsligningen fra eksemplet med nulpunktsformlen:

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{d}}{2a}\]

Når vi har to løsninger, skriver vi således, at:

\[\begin{gathered}x_1= \frac{-b+\sqrt{d}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\end{gathered}\]

Vi regner nu den første løsning.

\[x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\]

Vi kender derfor nu én løsning \(x_1=3\).

Vi regner den anden løsning.

\[x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\]

Og vi kender nu vores anden løsning \(x_2=2\). Funktionens nulpunkter er altså \(x=2\) og \(x=3\).

Hvis du synes det giver mening, hvad nulpunkter er, men har svært ved at beregne dem, så er det også en mulighed at få en mentor til at forklare det for dig. Det kan nogle gange være nemmere at gennemgå udregningerne sammen med en, der kan forklare det på en måde, så det giver mening for dig.

Se lektiehjælp i matematik i gymnasiet

Øvelse: Find selv nulpunkterne på grafen

Typiske fejl når du finder nulpunkter

Du finder skæringen med y-aksen

Et nulpunkt ligger på x-aksen, ikke y-aksen.

Du glemmer at sætte \(f(x)\) lig med 0

Man leder efter værdier, hvor funktionen værdi er 0. Derfor er det vigtigt, at du sætter hele funktionen lig med 0.

Du blander nulpunkt og toppunkt sammen

Toppunktet og nulpunkterne er forskellige punkter på grafen. Nulpunkterne ligger altid på x-aksen. Toppunktet kan ligge både på x-aksen og alle andre steder i koordinatsystemet, men der gælder andre regler for toppunktet.

Du finder kun én løsning

Nogle funktioner kan have flere nulpunkter. Oftest arbejder man i skolen med andengradspolynomier, der både kan have 0, 1 eller 2 nulpunkter. Her er det vigtigt at finde begge nulpunkter, hvis det er muligt.

Træn opgaver med facit om nulpunkter

Ofte stillede spørgsmål om nulpunkter

Hvad er et nulpunkt?

Et nulpunkt er en x-værdi, hvor funktionsværdien er lig nul. På en graf kan dette ses som det punkt, hvor grafen for f(x) rører x-aksen.

Hvordan finder man nulpunkter?

Du sætter \(f(x)=0\) og løser ligningen.

Hvad betyder \(f(x)=0?\)

Det betyder, at for en eller anden x-værdi, vil din funktion være lig 0. På en graf vil det være der, hvor grafen rører x-aksen, hvilket også er der, hvor vi er ved nul på y-aksen.

Hvor ligger nulpunkter på en graf?

Nulpunkter ligger på x-aksen og er punkter, hvor y er lig 0.

Kan en funktion have flere nulpunkter?

Ja, en funktion kan godt have flere nulpunkter. Nulpunkter er de punkter, hvor funktionen er lig 0, altså der hvor grafen rører x-aksen, og dette er muligt for grafen at gøre uendeligt mange gange.

Hvordan finder man nulpunkter for et andengradspolynomium?

Du finder nulpunkter ved at sætte andengradspolynomium lig 0, så du har noget på formen \(ax^2+bx+c=0\). Herefter løser du denne ligning ved hjælp af nulpunktsformlen.