Lineære funktioner: Hældningskoefficient og y = ax + b

Hvad er en lineær funktion?

I en lineær funktion ændrer y sig med det samme tal, hver gang x stiger med 1. Derfor er grafen en ret linje. Den generelle form for en lineær funktion er:

\[y=ax+b\]

x og y er variable, mens a og b er konstanter, dvs. faste tal, der varierer fra funktion til funktion. Når vi opskriver \(ax\) i forskriften, er der et "usynligt" gangetegn imellem de to bogstaver, så det betyder, at man egentlig skal regne \(a\times x\). Tegner man grafen, får man en ret linje, der illustrerer den konstante ændring mellem variablene x og y. Man opskriver ofte funktioner med f(x) i stedet for y og forskriften kommer derfor til at se sådan her ud:

\[f(x)=ax+b\]

\(f(x)\) udtales "f af x" og angiver funktionsværdien for den valgte x-værdi. Hvis man for eksempel skriver \(f(2)\), der læses "f af 2" betyder det "y-værdien, når x sættes til 2". Du vil også komme til at se eksempler i opgaver, hvor andre bogstaver end f bruges - det er sådan set bare et "navn" til funktionen. Når du regner opgaver foregår det som udgangspunkt på samme måde lige meget om der står \(y\) eller \(f(x)\).

Vi ser nu på et eksempel på en lineær funktion med ligningen:

\[y=2x+3\]

Vi kan indsætte et hvilket som helst tal på x's plads og udregne y-værdien. Vi prøver at sætte \(x=1\). y-værdien finder vi nu som vist her:

\[y=2\times1+3=5\]

Det betyder, at når \(x=1\), er \(y=5\) i funktionen.

Hvad betyder a og b i y=ax+b?

Hvad er a? Forstå hældningskoefficienten

a kaldes også hældningskoefficienten og beskriver, hvor "stejl" grafen er. Når x stiger med 1, ændres y med tallet for a. Hvis a er positiv, er funktionen voksende og y-værdierne bliver større i takt med at x-værdierne også stiger. Hvis a er negativ, er funktionen aftagende og y-værdierne falder, når x-værdierne vokser. Hvis \(a=0\) er funktionen konstant, og grafen er en vandret linje. På billedet nedenfor ses 3 grafer. Den grønne er stigende, den røde er aftagende og den blå er konstant.

Vi vender nu tilbage til forskriften fra tidligere:

\[y=2x+3\]

a er det tal, som vi ganger med x. I denne funktion er \(a=2\). Det betyder, at når x stiger fra 1 → 2, vokser y med 2 og går fra 5 → 7. Hvis x f.eks. vokser med 3, betyder det, at y stiger med 6 - altså 2 gange så meget som x, fordi \(a=2\).

Hvad er b? Find skæringen med y-aksen

b er funktionens skæring med y-aksen. Alle punkter på y-aksen har en x-værdi på 0. Når \(x=0\) bliver \(ax=a\times0=0\), fordi alle tal, der ganges med 0, giver 0. Når denne del af ligningen er 0, svarer det til, at \(y=b\). Derfor finder vi b-værdien for funktionen fra tidligere ved at udregne \(y\), når \(x=0\).

\[y=2\times0+3=3\]

Det giver 3 og betyder, at funktionen skærer y-aksen i punktet (0,3). Normalt behøver man ikke at beregne b-værdien, for man kan finde den ved blot at se på funktionsforskriften og finde det tal, der står på b's plads og enten lægges til (+) eller trækkes fra (-). Det er vigtigt at huske fortegnet, når man finder b. Hvis b er positiv, skærer grafen y-aksen over 0, hvis b er negativ, skærer den under 0 og hvis b = 0, går grafen igennem punktet (0,0).

Hvordan tegner du grafen for en lineær funktion?

Vi ser igen på funktionen:

\[y=2x+3\]

Vi tegner grafen for funktionen ved at følge nogle simple trin.

1. Vælg nogle x-værdier. Det kan f.eks. være -2, -1, 0, 1 og 2.
2. Beregn y-værdien for hver x-værdi. Det gør du ved at indsætte x-værdien i funktionens forskrift og udregne y. Som eksempel regner vi den tilsvarende y-værdi til x = -2 for funktionen.

\[y=2\times (-2)+3=-1\]

3. De sammenhørende x og y-værdier kan med fordel opstilles i en tabel som vist her:

4. Indtegn punkterne i et koordinatsystem. Det gør du ved at tage en x-værdi og den tilhørende y-værdi og finde punktet, der svarer til de koordinater. F.eks. svarer \(x=1\) og \(y=5\) til punktet (1,5).

5. Tegn en ret linje mellem punkterne. Du behøver faktisk kun 2 punkter for at tegne linjen, men det kan være en god ide at bruge flere for at tjekke, at beregningerne er rigtige og sørge for at linjen bliver lige.

Funktioner kan beskrives på forskellige måder. Ovenfor har vi både set funktionen beskrevet med en forskrift, en tabel og en graf. Senere vil vi også se på, hvad man gør, når funktioner beskrives med ord.

Prøv selv: Hvad sker der, når du ændrer a og b?

Se lineære funktioner forklaret på video

Hvordan finder du a og b ud fra to punkter?

Du vil komme ud for opgaver, hvor du skal finde en lineær funktions forskrift ud fra to punkter. Du kender allerede den generelle form for en lineær funktion, som er:

\[y=ax+b\]

Du mangler nu bare a og b.

Beregn hældningskoefficienten ud fra to punkter

Vi ser på et eksempel, hvor vi får givet punkterne \((1,5)\) og \((4,11)\). a findes som:

\[a=\frac{ændringen\space i\space y}{ændringen\space i\space x}\]

Det skriver vi normalt med to-punkts-formlen:

\[a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Hvor \(x_1\) og \(y_1\) er koordinaterne til det ene punkt, og \(x_2\) og \(y_2\) er koordinaterne til det andet. Vi bruger nu formlen til at beregne a i eksemplet.

\[a=\frac{11-5}{4-1}=\frac{6}3=2\]

Brøken i mellemregningen fortæller os, at y stiger med 6 og x stiger med 3. Det betyder, at når x stiger med 1, stiger y med 2 og derfor er \(a=2\). Når man bruger denne formel er det vigtigt at holde styr på at koordinaterne trækkes fra hinanden i samme rækkefølge i tæller og nævner. Derudover skal punkterne have forskellige x-koordinater, for ellers bliver nævneren 0, og man kan nemlig ikke dividere med 0.

Nu har vi fundet a, så det næste vi skal er at finde b.

Find b med formlen b = y − ax

Formlen for b er:

\[b=y-ax\]

Denne formel er en omformning af linjens ligning \(y=ax+b\), hvor \(ax\) er trukket fra på begge sider. For at kunne beregne b skal vi bruge a samt ét punkt på linjen. a beregnede vi før til 2, og vi vælger at bruge punktet \((1,5)\), hvor \(x=1\) og \(y=5\).

\[b=5-2\times1=3\]

Vi har nu beregnet b til 3. Det er vigtigt at bruge koordinaterne for x og y fra det samme punkt - hvilket af de to punkter, du vælger, har ingen betydning. Det kan vi teste ved at bruge det andet punkt \((4,11)\).

\[b=11-2\times4=3\]

Til sidst sætter vi a og b ind i forskriften, så vi får:

\[y=2x+3\]

Vi kan kontrollere svaret ved at indsætte x-værdien for et af de punkter, vi kender og se, om vi får y-værdien til det samme punkt, når vi beregner den med forskriften. Vi prøver med punktet \((4,11)\).

\[2\times 4+3=11\]

Det passer med at punktets y-værdi er 11.

Vi finder derfor forskriften for en funktion ved at følge disse trin:

1. Find a ud fra to punkter.
2. Brug a og ét punkt til at finde b.
3. Skriv forskriften.
4. Kontrollér med et punkt.

Måske kan du følge eksemplet men har stadig svært ved at finde a og b i dine egne opgaver. Med lektiehjælp i matematik i grundskolen kan en mentor hjælpe dig med de emner, der er svære og foreklare dig beregningerne på en måde, så det giver mening for dig.

Hvordan bruger du lineære funktioner i en tekstopgave?

I nogle opgaver bliver en funktion beskrevet med ord, og det er din opgave at finde forskriften. Vi tager et eksempel: Du vil gerne have printet nogle billeder og har fundet et sted, hvor hvert billede koster 2 kr. at få printet og derudover skal du betale 3 kr. i ordregebyr. Vi kalder nu antallet af billeder \(x\) og den samlede pris \(y\). For hvert ekstra billede du vil have printet koster det 2 kr. mere. Derfor er \(a=2\). Ordregebyret skal du kun betale én gang, og det er uafhængigt af hvor mange billeder, du vil printe. Det er b-leddet.

Derfor kan vi skrive forskriften som:

\[y=2x+3\]

Du kan nu bruge forskriften til at finde ud af, hvor meget den samlede pris bliver for et bestemt antal billeder. Det kunne for eksempel være, at du ville købe 5 billeder. Så sætter du 5 ind, hvor der står \(x\) og beregner \(y\).

\[y=2\times5+3=13\]

Beregningen viser, at det koster 13 kr. at få printet 5 billeder. I denne situation giver det kun mening at vælge positive heltal for x, da man hverken kan printe et halvt eller negativt antal billeder. Da vi før kiggede på samme funktion kunne vi godt bruge negative x-værdier, fordi vi så på funktionens forskrift isoleret set, mens vi her har knyttet den til et scenarie, hvor nogle værdier ikke giver mening.

Funktionen kan også bruges omvendt til at finde antallet af billeder, du kan printe for et specifikt beløb. Hvis dit budget er 13 kr., kan du regne dig frem til at du kan printe 5 billeder ved at indsætte \(y=13\) og løse ligningen. Det prøver vi nu.

\[13=2x+3\]

Vi trækker 3 fra på begge sider:

\[10=2x\]

Og dividerer med 2 på begge sider:

\[x=5\]

Det giver 5 og du kan derfor printe 5 billeder for dit budget - det var det samme som vi før fandt ud af at 5 billeder kostede. Funktionen beskriver altså sammenhængen mellem den samlede pris og antallet af billeder.

Test dig selv i lineære funktioner

Ofte stillede spørgsmål om lineære funktioner

Er lineære funktioner og førstegradsfunktioner det samme?

Næsten, men konstante funktioner - altså lineære funktioner, hvor \(a=0\) - er ikke førstegradsfunktioner. Alle lineære funktioner, der er enten stigende eller aftagende, er derfor førstegradsfunktioner.

Kan en lineær funktion have en negativ hældningskoefficient?

Ja. Det betyder bare, at y falder, når x stiger.

Hvornår er en lineær funktion ligefrem proportional?

En lineær funktion er ligefrem proportional, når \(b=0\). Forskriften bliver derfor bare \(y=ax\) og grafen for funktionen vil gå igennem \((0,0)\). F.eks. er funktionen \(y=2x\) ligefrem proportional og her stiger y med det dobbelte af x.

Hvad er forskellen på b og funktionens nulpunkt?

b er y-værdien, når \(x=0\), mens funktionens nulpunkt er x-værdien, når \(y=0\) - altså der, hvor funktionen skærer x-aksen.