Linjens ligning: Formel og parameterfremstilling

Alle rette linjers ligning med undtagelse af lodrette linjer kan beskrives ved følgende formel:

\[y=ax+b\]

Det gælder for alle linjers ligninger, at ligningen er en matematisk metode til at beskrive alle punkter på en linje. Desuden kan en ret linje beskrives på flere måder end bare ud fra ovenstående udtryk for linjens ligning. Eksempelvis kan man beskrive en ret linje med andre ligningsformer eller alene ved et punkt og en retningsvektor i en parameterfremstilling.

Hvad er linjens ligning?

En ret linje kan beskrives ved uendeligt mange punkter i et koordinatsystem. Alle disse punkter kan herfra beskrives ved hjælp af linjens ligning.

Vi forestiller os f.eks. at vi har følgende ligning for en ret linje:

\[y=2x+1\]

Lad os kalde linjen l. For linjen l gælder det, at punktet \((1, 3)\) ligger på linjen. Dette kan bevises ved at benytte linjens ligning. Vi indsætter x-værdien 1 på x's plads i ligningen på linjen l og udregner for y:

\[\begin{gathered}y=2·1+1 \\ y=2+1 \\ y=3\end{gathered}\]

Hermed giver y=3, når x=1 svarende til punktet fra før. Hermed opfylder punktets koordinater ligningen og ligger derfor på linjen l. Omvendt ligger punktet \((1, 4)\) ikke på linjen l, og punktets koordinatsæt, vil derfor ikke opfylde ligningens krav. Dette skyldes, at når x=1 er y≠4.

\[4≠2·1+1\]

Den visuelle fremstilling af dette scenarie kan også ses på nedenstående billede.

Linjens ligning beskriver derfor kun de punkter, som ligger på linjen, men det er ikke den eneste ligning, der er i stand til dette. Her gælder det nemlig, at flere ligninger kan beskrive den samme linje.

Hvilke formler kan beskrive en ret linje?

Selvom der er flere formler, som kan benyttes i arbejdet med rette linjer, afhænger valget af formel helt af, hvilke oplysninger du får givet i opgaven. Udtryk eller formler der kan bruges til at beskrive en ret linje er blandt andet angivet i formelsamlingen forneden.

Som du måske har bemærket bliver A og B i den generelle formel samt punkt-normalformlen skrevet med stort A og B frem for lille a og b. Dette skyldes, at værdien af A og B ikke er den samme som værdien af a og b i formlen \(y=ax+b\). Derfor skriver vi A og B med stort i punkt-normalformlen og den generelle formel for at se forskel på de enkelte a'er og b'er.

Hældningsform og punkt-hældningsform

Formlen vi indtil nu har arbejdet med kaldes hældningsformlen og skrives således:

\[y=ax+b\]

Udover x og y består hældningsformlen af koefficienterne a og b. Her beskriver a hældningen, altså hvor meget y vokser, hver gang x stiger med 1 og kaldes derfor hældningskoefficienten. b beskriver grafens skæring med y-aksen. En illustration af koefficienterne a og b for ligningen \(y=2x+1\) kan ses forneden.

Hældningsformlen gælder kun for rette linjer, der ikke er lodrette. Dette skyldes, at hældningskoefficienten ved lodrette linjer er udefineret.

Hvoraf hældningsformlen kan bruges, når man kender hældningen a og skæringen b, kan man også risikere kun at kende hældningen a samt et punkt \((x_0, y_0)\) på linjen. I så fald kan man benytte punkt-hældningsformlen, som ses forneden:

\[y-y_0=a(x-x_0)\]

Lad os eksempelvis forestille os, at vi kender hældningen \(a=2\) og punktet \(P_0(1,3)\). Vi indsætter værdierne \(a=2\), \(x_0=1\) og \(y_0=3\) i punkt-hældningsformlen.

\[y-3=2(x-1)\]

Først ganges 2 ind i parentesen og herefter lægges 3 til på begge sider af lighedstegnet.

\[\begin{gathered}y-3=2x-2 \\ y=2x+1\end{gathered}\]

Hermed kan punkt-hældningsformlen omskrives til hældningsformlen, når vi kender hældningskoefficienten a og et punkt på linjen. Dermed kan b nu aflæses til \(b=1\).

[[INDSÆT LINK: Lineærer funktioner og betydning af a og b]]

Punkt-normalform og generel form

En anden måde at skrive linjens ligning er ved punkt-normalformlen og den generelle formel. For at bruge punkt-normalformlen skal du kende et punkt på linjen samt en normalvektor til linjen. Normalvektoren er en vektor, der er vinkelret til den rette linje. Formlen på punkt-normalformlen er som følgende:

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\]

Her gælder det, at \((x_0, y_0)\) er et kendt punkt på linjen og \(\vec{n}=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\) er en normalvektor til linjen. Den generelle formel er som følger:

\[Ax+By+C=0\]

Udover normalvektoren \(\vec{n}=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\) ses også værdien \(C\) som er en konstant. Desuden kan både A og B i normalvektoren ikke være 0. Dette gælder for begge formler. Er A og B begge værdierne 0 bliver normalvektoren en nulvektor, og kan derfor ikke fungere som en vinkelret vektor til linjen. Følgende er et eksempel på en ligning på den generelle formel:

\[2x-y+1=0\]

Her svarer \((2, -1)\) til normalvektoren og \(C=1\). Selve beregningen med normalvektoren bliver uddybet senere i artiklen.

Modsat eksempelvis hældningsformlen, kan den generelle formel beskrive en lodret linje. Dette gøres ved at sætte \(B=0\) i normalvektoren. Derved går y ud med 0 i ligningen og x bliver konstant.

Vær opmærksom på, at \(\vec{n}=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\) er normalvektoren og derfor ikke svarer til hældningen a og skæringen b fra \(y=ax+b\) .

Synes du stadig, at det er svært at gennemskue formlerne, og hvornår du skal anvende dem? Med en mentor kan du få lektiehjælp i matematik til at øve, hvordan du ud fra oplysningerne vælger og bruger den rigtige formel.

Få hjælp til matematik

Du kan desuden læse mere om linjens ligning her.

Hvordan finder du linjens ligning ud fra to punkter?

Det er muligt at finde den rette linjes ligning, hvis du kender to punkter på linjen. Lad os eksempelvis tage de to punkter \(P_0(1,3)\) og \(Q(3,7)\).

Som det første starter vi med at finde hældningskoefficienten a. Dette gør vi ved at benytte en ny formel, der hedder to-punkts-formlen.

\[a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

For værdierne i punktet \(P_0\) svarer disse til \(x_1=1\) og \(y_1=3\), og i punktet \(Q\) svarer koordinaterne til \(x_2=3\) og \(y_2=7\). Vi indsætter værdierne i udtrykket for to-punktsformlen og udregner. Her er det vigtigt at huske, at rækkefølgen af koordinaterne i både tæller og nævner er den samme - altså at værdien af \(x_2\) og \(y_2\) skrives først i nævner og tæller og \(x_1\) og \(y_1\) skrives sidst.

\[\begin{gathered}a=\frac{7-3}{3-1} \\ a=\frac{4}{2} \\ a=2\end{gathered}\]

Dermed gælder det for den rette linje med punkterne \(P_0\) og \(Q\), at hældningen \(a=2\). Altså, betyder det eksempelvis, at hver gang x vokser med 2, vokser y med 4.

Brug et punkt til at skrive ligningen

Vi kender nu både et punkt på linjen, f.eks. \(P_0\), og linjens hældningskoefficient \(a=2\) . Ved at benytte punkt-hældningsformlen og indsætte de kendte værdier for hældning og punktet \(P_0\) kan den rette linjens ligning findes. Bemærk, at man også kunne have brugt punktet \(Q\) fremfor \(P_0\). Det eneste krav til punktet, man vælger er, at punktet skal ligge på den rette linje.

Punkt-hældningsformlen er:

\[y-y_0=a(x-x_0)\]

Vi indsætter hældningen 2 og punktet \(P_0\) svarende til værdierne \(x_0=1\) og \(y_0=3\) i punkt-hældningsformlen og udregner.

\[\begin{gathered}y-3=2(x-1) \\ y-3=2x-2 \\ y=2x+1\end{gathered}\]

Hermed er ligningen for den rette linje \(y=2x+1\). Hvis man vil kontrollere, om ligningen til den rette linje er udregnet korrekt, kan man indsætte et andet kendt punkt på linjen og udregne. I dette tilfælde indsætter vi det kendte punkt \(Q(3,7)\) i ligningen.

\[7=2·3+1\]

Da det gælder for punktet \(Q\), at \(y=7\) når \(x=3\) skal resultatet være \(7=7\) på begge sider af lighedstegnet, for at ligningen er korrekt. Vi udregner derfor nu højre side af lighedstegnet for at kontrollere.

\[\begin{gathered}7=2·3+1 \\ 7=6+1 \\ 7=7\end{gathered}\]

Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, er ligningen for den rette linje til punkterne \(P_0\) og \(Q\) skrevet korrekt.

Hvad gør du, hvis punkterne har samme x-værdi?

Omvendt kan du også risikere at have to punkter med samme x-værdi, såsom punkterne \((2,1)\) og \((2,5)\). I sådan et tilfælde er der tale om en lodret linje, hvilket forklarer, hvorfor punkterne har samme x-værdi. Derfor er det heller ikke muligt at bruge hældningsformlen, da dette vil kræve division med 0, som ikke er muligt. Det kan også ses illustreret algebraisk forneden:

\[\begin{gathered}\frac{1-5}{2-2} \\ \frac{-4}{0}\end{gathered}\]

Hermed er det ikke muligt at skrive ligningen for den rette linje med udtrykket \(y=ax+b\). I stedet bliver linjens ligning værdien af x. Altså, er ligningen for den rette linje \(x=2\). Forneden kan linjen desuden ses tegnet i et koordinatsystem:

Hvad er forskellen på en retningsvektor og en normalvektor?

En retningsvektor \(\vec{r}=\begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}\) er en vektor, der er parallel med linjen, hvor en normalvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\) er en vektor, der står vinkelret på linjen. Selvom de to vektorer har forskellig funktion, kan begge vektorer bruges til fremstillingen af den samme linje.

For at finde en retningsvektorer til linjen skal man kende to punkter på linjen. Disse to punkter kunne f.eks. være punkterne fra før: \(P_0(1,3)\) og \(Q(3,7)\) . Ved at trække værdien af punktet \(P_0\) fra punktet \(Q\), da \(Q\) har den største x-værdi kan retningsvektoren findes. Denne handling skrives på følgende måde:

\[\overrightarrow{P_0Q}=\begin{pmatrix}3-1\\7-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\]

Hermed er retningsvektoren fundet til \(\vec{r}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\). Dette svarer til, at hver gang x vokser med 2 vokser y med 4. Altså, gælder det også, at hver gang x vokser med 1 vokser y med 2. Derfor kan retningsvektoren for linjen til punkterne \(P_0\) og \(Q\) skrives \(\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\), da retningen vil være den samme. Yderligere gælder det derfor, at en retningsvektor gerne må ganges med et tal, der ikke er 0. F.eks. svarer \(\vec{r}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\) blot til \(\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}·2\).

Læs mere om retningsvektorer.

En tilhørende normalvektor til retningsvektoren kunne være \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\). Hvis du synes, at normalvektoren til retningsvektoren minder lidt om \(\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) har du helt ret. Sammenhængen mellem normalvektoren \(\vec{n}\) og retningsvektoren \(\vec{r}\) er nemlig:

\[\vec{r}=\begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}\]

\[\vec{n}=\begin{pmatrix}r_2\\-r_1\end{pmatrix}\]

Som set foroven bytter koordinaterne for retningsvektoren og normalvektoren blot plads og der skiftes fortegn ved \(r_1\) . Linjen, punkterne \(P_0\) og \(Q\) samt tilhørende normalvektor og retningsvektor til linjen \(y=2x+1\) kan ses illustreret på billedet forneden:

Hvordan finder du linjens ligning med en normalvektor?

For at finde linjens ligning med en normalvektor benyttes punkt-normalformlen som skrives således:

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\]

I vores eksempel benytter vi os af punktet \(P_0(1,3)\) og normalvektoren \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\) fra før. Her svarer værdierne \(A=2, B=-1, x_0=1\) og \(y_0=3\). Vi indsætter værdierne i punkt-normalformlen og udregner:

\[2(x-1)-(y-3)=0\]

Vi ganger nu 2 og -1 ind i parenteserne. Bemærk, at -1 fra \(B=-1\) blot er blevet skrevet som et minustegn i stedet for hele tallet.

\[2x-2-y+3=0\]

Vi reducerer nu ved at samle de enkelte led.

\[2x-y+1=0\]

Den ligning, vi har fundet nu, er linjens ligning på den generelle formel \(Ax+By+C=0\). Herfra kan ligningen yderligere omskrives til hældningsformlen \(y=ax+b\).

\[2x-y+1=0\]

Vi lægger y til på begge sider af lighedstegnet.

\[\begin{gathered}2x+1=y \\ y=2x+1\end{gathered}\]

Hermed er linjens ligning blevet omskrevet fra dens generelle formel til hældningsformlen svarende til ligningen \(y=2x+1\) . Ser vi på grafen under kapitlet "Hvad er forskellen på en retningsvektor og normalvektor?" kan vi se, at ligningen til linjen er den samme. Forskellen er bare, at vi her har fundet ligningen til linjen vha. et punkt og en normalvektor til linjen.

Hvad er en parameterfremstilling?

En parameterfremstilling er en måde at beskrive en linjes punkter ved at tage udgangspunkt i et fast punkt på linjen og gange t med et variabelt multiplum af en retningsvektor til linjen. Som vi før har gennemgået, er der til en linje uendelig mange retningsvektorer og tilhørende punkter. Derfor er der også uendeligt mange mulige parameterfremstillinger til den samme rette linje, og en parameterfremstilling er derfor ikke entydig.

Formlen for en parameterfremstilling skrives:

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}, t\in \mathbb{R}\]

Det gælder, at \(\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}\) er et kendt punkt på linjen, og \(\vec{r}=\begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}\) er en retningsvektor til linjen. Værdien af t er et reelt tal, der afgør, hvilket punkt \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) på linjen, man får. Selve \(t\in \mathbb{R}\) betyder blot "t tilhører mængden af reelle tal", hvor \(\in\) betyder "at tilhøre" og \(\mathbb{R}\) står for de reelle tal.

Opstil en parameterfremstilling ud fra to punkter

Vi opstiller nu en parameterfremstilling ud fra de to punkter \(P_0(1,3)\) og \(Q(3,7)\) og retningsvektoren \(\vec{r}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\) mellem punkterne.

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\]

Som vi diskuterede under afsnittet "Hvad er forskellen på en retningsvektor og en normalvektor?" kan en enklere version af retningsvektoren \(\vec{r}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\) være \(\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\). En enklere version af retningsvektoren bliver ofte lettere at regne med i parameterfremstillingen. Vi skriver nu parameterfremstillingen op med den enklere version af retningsvektoren.

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\]

Bemærk, at selvom begge retningsvektorer beskriver den samme linje, giver den samme t-værdi ikke samme punkt i begge parameterfremstillinger. F.eks. giver t-værdien t=3 punktet \((7,15)\) i den første parameterfremstilling og punktet \((4,9)\) i den efterfølgende.

Hvad betyder parameteren t?

Vi tager udgangspunkt i parameterfremstillingen med den enkle version af retningsvektoren fra før.

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\]

Ved at se på den øverste og nederste linje i parameterfremstillingen separat fra hinanden, kan de to koordinater x og y skrives i en ligning for sig.

\[x=1+t\]

\[y=3+2t\]

Følgende tabel viser hhv. x- og y-værdierne til bestemte t-værdier:

Vi lader t=0 være vores udgangspunkt. Herfra ser vi, at når t<0 bliver x-værdien mindre og omvendt, når t>0 bliver vores x-værdier større. På den måde giver hhv. positive og negative t-værdier punkter i hver sin retning. Herved vil alle de reelle t-værdier vha. en parameterfremstilling til linjen kunne give den samlede linje.

Punkterne i tabellen kan ses i på grafen forneden:

Hvordan omskriver du mellem ligning og parameterfremstilling?

Det er muligt at omskrive en parameterfremstilling til en ligning og omvendt. Nedenstående eksempler forklarer hvordan.

Fra parameterfremstilling til linjens ligning

For at omskrive mellem ligning og parameterfremstilling tages der igen udgangspunkt i parameterfremstillingen fra før.

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\]

Vi adskiller de to led x og y ligesom vi gjorde i afsnittet "Hvad betyder parameteren t?".

\[x=1+t\]

\[y=3+2t\]

Vi isolerer nu t i begge ligninger.

\[\begin{gathered}x=1+t \\ x-1=t\end{gathered}\]

Hermed er \(t=x-1\) .

\[\begin{gathered}y=3+2t \\ y-3=2t\end{gathered}\]

Vi dividerer med 2 på begge sider af lighedstegnet.

\[\begin{gathered}\frac{y-3}{2}=\frac{2t}{2} \\ \frac{y-3}{2}=t\end{gathered}\]

Hermed er \(t=\frac{y-3}{2}\). Fordi t er isoleret i begge ligninger kan de to ligninger nu sættes lig med hinanden, da værdien af begge er t.

\[x-1=\frac{y-3}{2}\]

Vi skal nu have sat alle værdierne over på samme side af ligningen. Derfor ganges der med 2 på begge sider af lighedstegnet og der reduceres efterfølgende.

\[\begin{gathered}2(x-1)=y-3 \\ 2x-2=y-3\end{gathered}\]

Vi trækker y fra og lægger 3 til på begge sider af lighedstegnet og reducerer.

\[\begin{gathered}2x-2-y+3=0 \\ 2x-y+1=0\end{gathered}\]

Hermed er parameterfremstillingen blevet omskrevet til den generelle formel.

Fra linjens ligning til parameterfremstilling

Vi tager udgangspunkt i linjens ligning:

\[2x-y+1=0\]

Vi starter med at finde et punkt på linjen. Det gøres ved at vælge en tilfældig x- eller y-værdi og herefter udregne for den anden. Vi vælger x-værdien x=1 og udregner for den tilhørende y-værdi:

\[\begin{gathered}2·1-y+1=0 \\ 2-y+1=0 \\ 2+1=y \\ 3=y\end{gathered}\]

Hermed har vi fundet punktet \(P_0(1,3)\). Vi aflæser desuden normalvektoren i den generelle formel til at være \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\). Ud fra normalvektoren kan en muligt retningsvektoren findes til at være \(\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\). Vi kender nu et punkt og en retningsvektor til linjen. Disse sættes nu ind i vores parameterfremstilling.

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\]

Vi tager punktet t-værdien t=1 til punktet (2, 5) fra tabellen under "Hvad betyder parameteren t?" til at kontrollerer vores resultat.

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+1·\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\]

Da t=1 giver punktet (2, 5) er parameterfremstillingen for linjen korrekt.

Havde vi brugt en anden retningsvektor eller punkt til linjen i vores parameterfremstilling, havde resultet været et andet, men parameterfremstillingen ville stadig være korrekt.

Kan du følge eksemplet, men går du i stå, når du selv skal vælge punkt og vektor?

En mentor kan tage udgangspunkt i dine egne opgaver og hjælpe dig med at forstå metoden, holde styr på fortegnene og kontrollere dit svar.

Se lektiehjælp i matematik i gymnasiet

Linjens ligning og parameterfremstilling forklaret på video

Vil du se sammenhængen mellem linjen, vektoren og formlerne? Her kan du følge en gennemgang på video.

[[INDSÆT RESTUDY-VIDEO: En gennemgang af sammenhængen mellem den rette linje, vektorerne og formlerne der anvendes.]]

Bevis for linjens ligning med en normalvektor

Dette afsnit er mest relevant, hvis du ønsker at forstå, hvorfor punkt-normalformlen virker.

Første regel for at forstå beviset er, at når to ikke-nulvektorer står vinkelret på hinanden, vil deres skalarprodukt altid give 0. [[INDSÆT LINK: skalarprodukt mellem to vektorer]]

Vi vælger herfra et kendt punkt \(P_0=(x_0,y_0)\) på linjen. Desuden lader vi \(P=(x,y)\) være et vilkårligt punkt på linjen. Vektoren mellem de to punkter \(P_0\) og \(P\) kan skrives således:

\[\overrightarrow{P_0P}=\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}\]

Det gælder for en normalvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\), at den står vinkelret til linjen. Derfor vil skalarproduktet af \(\vec{n}\) og \(\overrightarrow{P_0P}\) give 0.

\[\vec{n}·\overrightarrow{P_0P}=0\]

Skalarproduktet udregnes med formlen:

\[\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2\]

Ligningen kan også virke den anden vej. Opfylder et punkt ligningen vil det sige, at punktet ligger på linjen, der går igennem punktet \(P_0\) og som er vinkelret til normalvektoren. Punktet \(P_0\) opfylder derfor også selv ligningen.

Træn opgaver om linjens ligning og parameterfremstilling

Ofte stillede spørgsmål om linjens ligning

Kan alle rette linjer skrives som \(y=ax+b\) ?

Alle retter linjer bortset fra lodrette linjer kan skrives på hældningsformlen \(y=ax+b\). Lodrette linjer skrives i stedet som x=k, hvor k er en konstant. De kan også beskrives på en generel form eller ved en parameterfremstilling.

Kan en linje have flere forskellige ligninger?

Ja, en linje kan skrives med flere forskellige ligninger. Eksempelvis beskriver \(y = 2x + 1\) og \(2x - y + 1 = 0\) samme linje. Ganges hele den generelle ligning med et tal forskelligt fra 0, får man også en ligning for samme linje.

Er en parameterfremstilling entydig?

Nej, parameterfremstilling er ikke entydig. Man kan vælge forskellige punkter på linjen og forskellige parallelle retningsvektorer. Retningsvektoren skal være forskellig fra nulvektoren.

Hvordan undersøger man, om et punkt ligger på en parameterfremstillet linje?

For at undersøge om et punkt ligger på en parameterfremstillet linje, skal du opstille et ligningsystem for hhv. x og y. Hvis t-værdien er den samme for begge, ligger punktet på linjen. Det er ikke nok, at de to koordinatligninger hver især kan løses med forskellige t-værdier.

Hvad er forskellen på en linje og et linjestykke i en parameterfremstilling?

Alle reelle t-værdier kan til sammen give hele linjen.

Hvis man skriver \(P + t(Q - P)\) og begrænser \(t\) til intervallet \(0 \le t \le 1\), får man linjestykket fra \(P\) til \(Q\).