Hvad er pi? Tallet π forklaret

Hvad bruges pi til?

Pi bruges ofte inden for geometri til at beregne størrelsen på cirkler, kugler og andre geometriske figurer. Pi indgår derfor i formler for areal, omkreds, rumfang og overfladeareal for runde figurer.

Hvorfor er pi altid det samme?

For at forstå svaret på spørgsmålet "Hvad er pi?", kan vi se nærmere på forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter. Man vil nemlig altid få forholdet til at være det samme tal uanset cirklens størrelse. Dette tal er pi. Ligesom to altid er 2, så er pi altid ca. 3,14. Vi kan vise det ved at se på to forskellige cirkler. Den ene har diameteren 3 og den anden har diameteren 5. De har forskellig omkreds, men hvis man dividerer omkredsen med diameteren for hver cirkel - dvs. man finder forholdet mellem de to størrelser - får man pi (ca. 3,14). Det gælder for alle cirkler uanset diameteren.

Sådan bruger du pi til at beregne en cirkels omkreds

Formlen for cirklens omkreds er:

\[O=2\times\pi\times r\]

O er symbolet for omkreds, mens r står for cirklens radius. Radius er det halve af diameteren. Det vil sige, at den går fra centrum af cirklen til et punkt på periferien, der er ordet for cirklens kant. Hvis du kender cirklens diameter betyder det, at du bare kan dividere den med 2, og så har du cirklens radius. Vi ser nu på et eksempel. Vi vil gerne finde omkredsen af en pizza, der har en radius på 12 cm. Det indsætter vi i formlen, så der står:

\[O=2\times\pi\times 12\]

Vi kan nu enten få en lommeregner, der har en mere præcis værdi af pi til at beregne svaret eller vælge at erstatte symbolet med en afrundet værdi. Vi vælger i eksemplet at gøre det sidstnævnte og afrunde pi til to decimaler, så det bliver 3,14.

\[O=2\times 3,14\times12=75,36\]

Vi har nu fundet frem til, at pizzaens omkreds er 75,36 cm.

Hvis vi fik oplyst pizzaens diameter i stedet for radius kunne vi som nævnt vælge at halvere den eller omskrive formlen, da vi ved at \(d=2\times r\). Formlen ville således blive:

\[O=d\times\pi\]

Du kan læse mere om cirklers omkreds, areal, radius og diameter.

Sådan bruger du pi til at beregne en cirkels areal

Formlen for arealet af en cirkel er:

\[A=\pi\times r^2\]

Symbolet A står for cirklens areal og r er cirklens radius ligesom i formlen for omkredsen. Vi bruger samme eksempel som tidligere og beregner nu arealet af pizzaen ved hjælp af formlen. Pizzaens radius var 12 cm og derfor bliver regnestykket:

\[A=\pi\times 12^2\]

Vi afrunder igen pi til 3,14 og indsætter det i formlen, hvorved vi får et gangestykke, der kan løses:

\[A=3,14\times12^2=452,16\]

Pi-beregner: Beregn cirklens areal og omkreds

Hvorfor har pi uendeligt mange decimaler?

Pi er det, man kalder et irrationelt tal. Det betyder, at det har uendelig mange decimaler, der aldrig stopper og ikke følger et mønster. Nedenfor er de første hundrede decimaler i pi, delt op i 10.

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

Heldigvis er det slet ikke nødvendigt at kunne mere end de første par stykker, da vi i de fleste beregninger afrunder til 3,14 - nogle gange endda 3.

Pi i rumfang og overfladeareal

Dette afsnit henvender særligt til gymnasieelever, da man i gymnasiematematikken vil få brug for at anvende pi i forbindelse med rummelige figurer som kugler, kegler og cylindre. Vi vil nu gennemgå formlerne for beregning af overfladeareal og rumfang af hver af de tre figurer.

Kugle

Rumfanget af en kugle findes med formlen:

\[V=\frac{4}3\times\pi\times r^3\]

Kuglens overfladeareal beregnes som:

\[A=4\times\pi\times r^2\]

Kegle

Keglens rumfang beregnes med formlen:

\[V=\frac{\pi\times h\times r^2}3\]

Overfladearealet af keglens krumme flade - dvs. den buede overflade, der ikke inkluderer selve bunden - kan findes ved:

\[O=\pi\times r\times s\]

s er længden på den skrå side fra keglens spids til et punkt på periferien af den cirkel, der udgør keglens bund.

Hvis du vil finde hele overfladearealet inklusiv bunden kan du beregne overfladearealet af den krumme overflade samt arealet af keglens bund, der findes som arealet af en cirkel. Derefter lægges de to tal sammen og du har det samlede areal. Alternativt kan denne formel anvendes:

\[A=\pi\times r\times (s+r)\]

Cylinder

Cylinderens rumfang beregnes som:

\[V=h\times\pi\times r^2\]

Overfladearealet af den krumme overflade kan findes ved at gange højden af cylinderen med omkredsen af cirklen, der udgør bunden. Du kan forestille dig, at den krumme overflade kan udfoldes til et rektangel, hvor højden og omkredsen af cirklen er længden af de to sider. Formlen for den krumme overflade bliver derfor:

\[O=2\times\pi\times r\times h\]

Hvis du vil beregne hele overfladearealet inklusiv toppen og bunden bliver formlen:

\[A=2\times\pi\times r\times(h+r)\]

Pi anvendes også i trigonometri, hvor det bruges til at angive vinkler i radianer. En halv omgang svarer til π radianer og en hel omgang svarer til 2π radianer.

Hvor kommer pi fra og hvad betyder pi-tegnet π?

Symbolet for pi (π) er et græsk bogstav og symboliserer den matematiske værdi af pi. Historien om pi starter langt tilbage i tiden for ca. 4.000 år siden, hvor de første mennesker forsøgte at beregne forholdet mellem omkredsen og diameteren i en cirkel - altså pi. Herfra fandt man senere flere af tallets uendelige decimaler gennem komplicerede geometriske beregninger. I dag bruger vi pi til at bestemme forskellige størrelser, der er relateret til cirkler eller runde figurer. Det kan for eksempel være til at beregne, hvor meget vand, der kan være i en swimming pool eller hvor mange meter papir, der er i en toiletrulle.

Sjove fakta om pi

• 14. marts er den nationale pi-dag.
• Der konkurreres i, hvem der kan huske flest decimaler i pi.
• I 2024 slog danskeren Lars Christiansen verdensrekorden i 'Everest', som er en pi-disciplin for anden gang. Han kunne huske 10.000 decimaler af pi.

Tre gode tips til forældre, så dit barn kan lære om pi

• Gør pi håndgribeligt ved at forklare det med ting fra hverdagen. Det kan for eksempel være at måle en pizza eller en rund æske og prøve at bruge nogle af formlerne til at beregne forskellige størrelser som areal og rumfang.
• Fokuser på forståelse frem for at huske decimalerne. Man har i praksis ikke brug for at kunne mere end blot de første 2 decimaler, og det er derfor ikke vigtigt, at barnet kan huske mange. Start med at afrund pi til 3, og når barnet er klar kan man altid tilføje en eller to decimaler.
• Tegn og regn med konkrete eksempler. Det hjælper forståelsen og gør det lettere for barnet at lære.

Ofte stillede spørgsmål om pi

Hvad er pi?

Pi (π) er forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter og er cirka 3,14.

Hvad bruges pi til?

Pi bruges til geometriske og trigonometriske beregninger i matematik som at beregne omkreds og areal af cirkler samt rumfang og overfladeareal af rummelige figurer f.eks. kugler, kegler og cylindre.

Hvor mange decimaler har pi?

Pi har uendelig mange decimaler, men ofte afrunder vi pi til f.eks. 2 decimaler, så det bliver 3,14.

Hvordan beregner man med pi?

Pi bruges blandt andet til at beregne omkredsen og arealet af cirkler. Pi er cirka 3,14, og du kan derfor bruge tallet 3,14 i dine beregninger. Alt efter hvad du vil beregne skal du bruge forskellige formler. For at finde en cirkels omkreds ganges diameteren med pi, mens du finder arealet af en cirkel ved at gange pi med radius i anden.